Dysons brownsche Bewegung

Dysons brownsche Bewegung ist die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, die eine Verbindung zwischen der stochastischen Analysis und der Theorie der Zufallsmatrizen macht. Sie beschreibt den Eigenwert-Prozess einer hermiteschen Zufallsmatrix, deren Einträge Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse sind.

Sie ist nach Freeman Dyson benannt, der sie zuerst entdeckt hatte.^[1]

Theorem

Sei $\Sigma ^{n}(x)=(\lambda _{1}(x),\dots ,\lambda _{n}(x))_{x\geq 0}$ ein stochastischer Prozess mit $\lambda _{1}(x)\leq \dots \leq \lambda _{n}(x)$ . Dann ist $\Sigma ^{n}(x)$ Dysons brownsche Bewegung falls sie die schwache Lösung für

\mathrm {d} \Sigma _{i}^{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\beta n}}}\mathrm {d} B_{i}(x)+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i\neq i'}{\frac {\mathrm {d} x}{\lambda _{i}(x)-\lambda _{i'}(x)}},\quad i=1,\dots ,n

ist, wobei $\mathrm {d} B$ eine $n$ -dimensionale brownsche Bewegung ist. $\Sigma ^{n}$ ist der Eigenwert-Prozess der matrixwertigen Brownschen Bewegung mit $\beta =\{1,2\}$