Kanonischer Divisor

In der Funktionentheorie ist der kanonische Divisor ein Begriff aus der Theorie riemannscher Flächen.

Definition

Sei eine riemannsche Fläche und eine meromorphe 1-Form. Der kanonische Divisor von ist der Divisor

.

Dabei ist

für eine Darstellung in einer lokalen Koordinate . Der Wert von hängt nur von und nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.

Für verschiedene meromorphe 1-Formen auf einer riemannschen Fläche erhält man äquivalente kanonische Divisoren, d. h. ihre Differenz ist ein Hauptdivisor. Die Äquivalenzklasse des kanonischen Divisors ist also unabhängig von der gewählten meromorphen 1-Form wohldefiniert.

Eigenschaften

Der Grad des kanonischen Divisors ist , wobei das Geschlecht der riemannschen Fläche ist.

Der Satz von Riemann-Roch stellt für beliebige Divisoren einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Lösungsräume von und her.

Literatur