Hodge-Struktur

In der Mathematik ist eine Hodge-Struktur eine algebraische Struktur, die die Hodge-Zerlegung der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hodge-Strukturen haben vielfältige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie.

Definitionen

Eine Hodge-Zerlegung eines reellen Vektorraums ist eine Zerlegung

mit für alle .

Eine Hodge-Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge-Zerlegung.

Eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht ist eine Hodge-Struktur mit

Allgemein hat man für eine Hodge-Struktur eine Gewichtszerlegung

mit

Eine ganze Hodge-Struktur (bzw. rationale Hodge-Struktur) ist ein endlich erzeugter freier -Modul (bzw. ein endlich erzeugter -Vektorraum) mit einer Hodge-Zerlegung von (bzw. ), so dass die Gewichtszerlegung über definiert ist.

Beispiele

Hodge-Tate-Strukturen

Z(n)

ist die ganze Hodge-Struktur mit -Modul

und . Sie ist die einzige 1-dimensionale Hodge-Struktur vom Gewicht -2.

Mit wird das -fache Tensorprodukt

bezeichnet.

Q(n)

ist die rationale Hodge-Struktur mit -Vektorraum

und . ist das -fache Tensorprodukt .

R(n)

ist die Hodge-Struktur mit -Vektorraum

und . ist das -fache Tensorprodukt .

Hodge-Zerlegungs-Satz für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Die Kohomologie einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit trägt eine Hodge-Struktur: nach dem Satz von Hodge kann man die -te Kohomologie mit dem Raum der harmonischen Differentialformen identifizieren und es gilt

wobei die harmonischen (p,q)-Formen bezeichnet. Es gilt .

Hodge-Filtrierung

Zu einer reinen Hodge-Struktur vom Gewicht bezeichnet man die Filtrierung

mit

als zugehörige Hodge-Filtrierung.

Die Hodge-Filtrierung bestimmt die Hodge-Zerlegung durch

Die Existenz einer reinen Hodge-Zerlegung vom Gewicht ist also äquivalent zur Existenz einer Filtrierung von mit für hinreichend große und

für alle mit .

Literatur

  • Wells R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds (3rd ed.), Springer 2008, ISBN 978-0-387-73891-8.
  • Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris: Period mappings and period domains. 2nd edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168. Cambridge: Cambridge University Press (2017), ISBN 978-1-316-63956-6 (Paperback), 978-1-108-42262-8 (Hardback), 978-1-316-99584-6 (E-Book).