Schwartz-Raum
Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden Schwartz-Funktionen genannt. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.
Definition
Eine Funktion heißt Schwartz-Funktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes die Funktion auf beschränkt ist, wobei die -te Ableitung kennzeichnet.
Der Vektorraum aller Schwartz-Funktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit bezeichnet. In aller Kürze gilt also
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\;&{\overset {}{:=}}\;\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}:\;\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|<\infty \;\right\}\\[.4em]&=\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n},\,\exists C\geq 0,\,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|\leq C\;\right\}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7529cc21f68197317b05fb3196522349d45687)
Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen
induziert wird.
Beispiele
- Die Funktionen sind für Schwartz-Funktionen auf .
- Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Träger ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
- Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.
Eigenschaften
- Der Schwartz-Raum ist vollständig bezüglich der Topologie (beziehungsweise der Metrik), die durch die Familie der Halbnormen induziert wird, und ist somit ein Fréchet-Raum. Er hat auch die Montel-Eigenschaft.
- Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartz-Raum.
- Wie bei den Beispielen erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar dicht im Schwartz-Raum.[1]
- Der Schwartz-Raum ist separabel.
- für .
- Für liegt der Schwartz-Raum dicht im Raum der p-integrierbaren Funktionen [1]
- Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier-Transformation auf dem Hilbertraum definieren.
Temperierte Distributionen
Eine stetige, lineare Abbildung heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu .
Literatur
- Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
Einzelnachweise
- ↑ a b Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operators. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.
