Modus (Stochastik)

Als Modus oder Modalwert bezeichnet man in der Stochastik eine Kennzahl der Verteilung einer Zufallsvariable oder eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Der Modus gehört zu den Lagemaßen und hat somit wie der Erwartungswert und der Median die Aufgabe, die Position einer Verteilung zu charakterisieren.

Der Modus wird über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen einer Verteilung definiert und ist vom Modus im Sinne der deskriptiven Statistik zu unterscheiden. Dieser ist eine Kennzahl einer Stichprobe (wie das arithmetische Mittel), der Modus in der Stochastik hingegen ist eine Kennzahl einer abstrakten Mengenfunktion (wie der Erwartungswert).

Definition

Über Wahrscheinlichkeitsdichten

Ist eine Zufallsvariable oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , so heißt ein Modus oder Modalwert von oder , falls ein lokales Maximum von ist.[1]

Ist die Zufallsvariable reellwertig beziehungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen definiert, so ist dies äquivalent dazu, dass es ein offenes Intervall um gibt, so dass

für alle in diesem Intervall gilt.

Über Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Es sei eine höchstens abzählbare Menge gegeben, deren Elemente in aufsteigender Ordnung sortiert sind, das heißt . Ist dann eine Zufallsvariable mit Werten in und Wahrscheinlichkeitsfunktion oder ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf mit Wahrscheinlichkeitsfunktion , so heißt ein Modus oder Modalwert von oder , wenn

ist.[1]

Ist spezieller eine Zufallsvariable mit Werten in oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , so ist ein Modus, wenn

ist.

Schwächen

Der Modus ist als Lagemaß nicht immer unproblematisch. So kann er beispielsweise keine oder nur eine sehr geringe Aussagekraft besitzen. Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter

so besitzt diese bei ein globales Maximum. Damit ist die Null der eindeutige Modus der Exponentialverteilung. Jedoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als Null zu erhalten, gleich null. Dies steht in deutlichen Widerspruch zu der zugrundeliegenden Idee eines Lagemaßes, das angeben soll, wo sich „viel Wahrscheinlichkeit“ befindet.

Ebenso muss der Modus im Allgemeinen nicht eindeutig sein (siehe unten). Im Extremfall der stetigen Gleichverteilung, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

besitzt, ist jeder Wert in dem Intervall ein Modus.

Aufbauende Begriffe

Verteilungen, welche nur einen Modus besitzen, werden als unimodale Verteilungen bezeichnet.[2]

Verteilungen mit mehr als einem Modus werden als multimodale Verteilungen bezeichnet und weiter nach der Anzahl ihrer Modi unterschieden.[3][4] So spricht man auch von bimodalen Verteilungen (zwei Modi) oder trimodalen Verteilungen (drei Modi).[5][6]

Abgrenzung

Der Modus (im Sinne der Statistik) kann jeder Stichprobe zugeordnet werden, die nominal skaliert ist, deren Elemente sich also in bestimmte Kategorien gruppieren lassen. Somit ist der Modus eine Kennzahl einer Stichprobe, also einer Anordnung von Ergebnissen eines durchgeführten Zufallsexperimentes.

Der Modus (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) ist eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese ist eine Abbildung, welche speziellen Mengen eine Zahl zuordnet und ist damit von einer Stichprobe zu unterscheiden.

Die beiden Modus-Begriffe sind also verschieden, insbesondere da sie andersartigen mathematische Konstrukten Zahlen zuordnen: Einmal der Stichprobe, einmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beide Begriffe lassen sich über die empirische Verteilung verknüpfen. Ist eine Stichprobe gegeben, so entspricht der Modus der Stichprobe dem Modus (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) der empirischen Verteilung von .

Einzelnachweise

  1. a b A.V. Prokhorov: Mode. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. Unimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  3. A.V. Prokhorov: Multimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  4. Eric W. Weisstein: Multimodal. In: MathWorld (englisch).
  5. Eric W. Weisstein: Trimodal. In: MathWorld (englisch).
  6. Bimodal Distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).