Koordinatenraum

Der Koordinatenraum in zwei reellen Dimensionen besteht aus allen Vektoren, die den Koordinatenursprung als Anfangspunkt besitzen

Der Koordinatenraum, Standardraum oder Standardvektorraum ist in der Mathematik der Vektorraum der -Tupel mit Komponenten aus einem gegebenen Körper versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Die Elemente des Koordinatenraums nennt man entsprechend Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel. Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren. Lineare Abbildungen zwischen Koordinatenräumen werden durch Matrizen dargestellt. Die Koordinatenräume besitzen in der linearen Algebra eine besondere Bedeutung, da jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem Koordinatenraum isomorph (strukturell gleich) ist.

Die zwei- und dreidimensionalen reellen Koordinatenräume dienen oft als Modelle für die euklidische Ebene und den dreidimensionalen euklidischen Raum. In diesem Fall werden ihre Elemente sowohl als Punkte wie auch als Vektoren aufgefasst.

Definition

Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ist ein Körper und eine natürliche Zahl, so ist das -fache kartesische Produkt

die Menge aller -Tupel mit Komponenten aus . Für diese Tupel definiert man nun eine komponentenweise Addition durch

sowie eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar durch

.

Auf diese Weise erhält man einen Vektorraum , der als Koordinatenraum oder Standardraum der Dimension über dem Körper bezeichnet wird.[1] Seine Elemente nennt man Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel.

Darstellung mit Spaltenvektoren

Die Koordinatenvektoren notiert man häufig auch als Spaltenvektoren. Die Vektoraddition und Skalarmultiplikation entsprechen dann einer zeilenweisen Addition der Vektorkomponenten beziehungsweise einer zeilenweisen Multiplikation mit einem Skalar:

.

Diese Operationen sind dann Spezialfälle der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einspaltiger Matrizen.

Beispiele

Addition zweier Vektoren in der euklidischen Ebene (oben) und Multiplikation eines Vektors mit der Zahl zwei (unten).

Wichtige Beispiele für Koordinatenräume entstehen durch die Wahl der reellen Zahlen als zugrunde liegenden Körper. Im eindimensionalen Koordinatenraum entsprechen die Vektorraumoperationen gerade der normalen Addition und Multiplikation von Zahlen. Im zweidimensionalen reellen Koordinatenraum können Zahlenpaare als Ortsvektoren in der euklidischen Ebene interpretiert werden. Die beiden Komponenten sind dann gerade die Koordinaten des Endpunkts eines Ortsvektors in einem kartesischen Koordinatensystem. Auf diese Weise entspricht die Vektoraddition

anschaulich der Addition der zugehörigen Vektorpfeile und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

.

der Streckung (oder Stauchung) des zugehörigen Vektorpfeils um den Faktor . Insbesondere erhält man durch die Vektoraddition oder Skalarmultiplikation wieder einen Vektor in der euklidischen Ebene. Entsprechend können die Tupel des dreidimensionalen reellen Koordinatenraums als Ortsvektoren im euklidischen Raum interpretiert werden. In höheren Dimensionen funktioniert diese Konstruktion ganz analog, auch wenn die Koordinatenvektoren des dann nicht mehr so anschaulich interpretiert werden können.

Eigenschaften

Neutrales und inverses Element

Das neutrale Element im Koordinatenraum ist der Nullvektor

,

wobei das Nullelement des Körpers ist. Das zu einem Vektor inverse Element ist dann der Vektor

,

wobei für jeweils das additiv inverse Element zu in ist.

Gesetze

Der Koordinatenraum erfüllt die Axiome eines Vektorraums. Neben der Existenz eines neutralen und inversen Elements gelten für Koordinatenvektoren und Skalare

Diese Gesetze folgen direkt aus der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der Addition und Multiplikation im Körper durch Anwendung auf jede Komponente eines Koordinatentupels.

Basis

Die Standardbasis für den Koordinatenraum besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren

.

Jeder Vektor lässt sich somit als Linearkombination

der Basisvektoren darstellen. Die Dimension des Koordinatenraums ergibt sich demnach zu

.

Durch Basistransformation der Standardbasis können weitere Basen des Koordinatenraums ermittelt werden. Dabei bilden die Spalten- oder Zeilenvektoren einer -Matrix genau dann eine Basis des Koordinatenraums , wenn die Matrix regulär ist, also vollen Rang besitzt.

Lineare Abbildungen

Die linearen Abbildungen zwischen zwei Koordinatenräumen entsprechen eindeutig den Matrizen mit Einträgen aus dem Körper: Ist eine Matrix mit Zeilen und Spalten, dann wird durch das Matrix-Vektor-Produkt eine lineare Abbildung

definiert. Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung eine eindeutig bestimmte Abbildungsmatrix , sodass für alle . Die Spalten von ergeben sich dabei als die Bilder der Standardbasisvektoren:

.

Die Menge der Matrizen bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation selbst wieder einen Vektorraum, den Matrizenraum.

Isomorphie

Ist nun ein beliebiger -dimensionaler Vektorraum über dem Körper , dann ist isomorph zu dem entsprechenden Koordinatenraum , also

.

Wählt man nämlich eine Basis für , so hat jeder Vektor die Darstellung

mit . Jeder Vektor lässt sich so eindeutig als Koordinatentupel darstellen. Umgekehrt entspricht jedem solchen Koordinatentupel aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren genau ein Vektor aus . Demnach ist die Abbildung

bijektiv. Nachdem die Abbildung zudem linear ist, stellt sie einen Isomorphismus zwischen dem Koordinatenraum und dem Vektorraum dar.[2] Da auf diese Weise jeder -dimensionale Vektorraum über dem Körper zum Koordinatenraum isomorph ist, sind auch alle -dimensionalen Vektorräume über dem gleichen Körper untereinander isomorph.

Diese Identifizierung endlichdimensionaler Vektorräume mit dem zugehörigen Koordinatenraum erklärt auch den Namen „Standardraum“.[2] Dennoch arbeitet man in der linearen Algebra häufig lieber mit abstrakten Vektorräumen statt mit Koordinatenräumen, da man in der Theorie gerne koordinatenfrei, das heißt ohne eine besonders ausgewählte Basis, argumentieren möchte. Für konkrete Berechnungen greift man dann wieder auf den Koordinatenraum zurück und rechnet mit den Koordinatenvektoren.

Erweiterungen

Der Koordinatenraum kann beispielsweise um folgende mathematische Strukturen erweitert werden:

Literatur

Einzelnachweise

  1. Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. S. 75.
  2. a b Amann, Escher: Analysis I. S. 125.