Die Abstrakte Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit einzelnen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern, Moduln und nicht zuletzt den Algebren beschäftigt^[1] und deren Eigenschaften untersucht. Die Bezeichnung „abstrakte“ Algebra dient der Abgrenzung zu anderen Teilgebieten der Mathematik, die, historisch bedingt, ebenfalls als Algebra bezeichnet werden,^[2][3] wie etwa die elementare Algebra der Schulmathematik.

In der Geschichte der Mathematik tauchten algebraische Strukturen zuerst in anderen Teilgebieten der Mathematik auf, wurden dann axiomatisch spezifiziert und schließlich als eigenständige Gebilde in der abstrakten Algebra untersucht. Deshalb hat die abstrakte Algebra viele Verbindungen zu allen Zweigen der Mathematik. Durch den abstrakten Zugang lassen sich beispielsweise übergeordnete Symmetrien entdecken, die dann in mehreren, eigentlich ganz verschiedenen Objekten existieren. Ein moderner Ansatz ist die Kategorientheorie. Anwendungen findet die abstrakte Algebra beispielsweise in der Darstellungstheorie oder bei Schemata.

Als erstes Lehrbuch der modernen abstrakten Algebra gilt das Werk Moderne Algebra von Bartel Leendert van der Waerden, das aus den Vorlesungen von Emil Artin und Emmy Noether entstand.

Die Methoden der abstrakten Algebra werden insbesondere in der algebraischen Geometrie, algebraischen Topologie und algebraischen Zahlentheorie eingesetzt.

Aufbau

Eine kurze Übersicht über die abstrakte Algebra und weiterführende Gebiete.

Gruppentheorie

Endliche Gruppe

Geometrische Gruppentheorie

Ringtheorie

Kommutative Algebra

Körpertheorie

Körpererweiterung

Galoistheorie

Weiterführende Fachgebiete

Algebraische Geometrie

Algebraische Topologie

Algebraische Zahlentheorie

Darstellungstheorie

Homologische Algebra

Kategorientheorie

Lie-Theorie

Literatur

• dtv-Atlas zur Mathematik, Bd. 1, 2. Auflage 1976, S. 70 ff.
• Abstract Algebra, Pierre-Antoine Grillet, (2007, ISBN 978-0-387-71567-4)
• Algebra, Serge Lang (2002, ISBN 978-0-387-95385-4)
• Abstract Algebra, Gregory T. Lee (2018, ISBN 978-3-319-77648-4)
• Abstract Algebra, David R. Finston, Patrick J. Morandi (2014, ISBN 978-3-319-04497-2)

Weblinks

Wikibooks: Mathematik: Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

1. ↑ Gregory T. Lee: Abstract algebra : an introductory course. Cham 2018, ISBN 978-3-319-77649-1. 
2. ↑ H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser: 4000 Jahre Algebra. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, doi:10.1007/978-3-642-38239-0. 
3. ↑ Jeremy Gray: A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra. Cham, Switzerland 2018, ISBN 978-3-319-94773-0.