„Stieltjesintegral“ – Versionsunterschied
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==Nicht-monotone Integratoren== |
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Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher [[Variation (Mathematik)|Variation]] auf <math>[a,b]</math>. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also <math> h=h_1 - h_2</math> mit <math>h_1, |
Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher [[Variation (Mathematik)|Variation]] auf <math>[a,b]</math>. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also <math> h=h_1 - h_2</math> mit <math>h_1, h_2: [a,b] \to \R </math> monoton wachsend. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als |
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:<math>\int_a^b f |
:<math>\int_a^b f\,\mathrm dh := \int_a^b f\,\mathrm dh_1 - \int_a^b f\,\mathrm dh_2.</math> |
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Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist. |
Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist. |
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Version vom 8. Februar 2008, 22:35 Uhr
In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856-1894). Das Stieltjes-Integral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.
Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren
Seien ein reelles Intervall sowie zwei Funktionen, wobei beschränkt sei. sei (nicht notwendigerweise streng) monoton wachsend. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von bezüglich auf dem Intervall wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls, Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert, jedoch lauten die Formeln der Ober- und Untersumme bei Stieltjes statt
![{\displaystyle [a,b]\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e80309abd44533b17cf71f68abb975974368642)
![{\displaystyle f,h:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad52ba978302f12e278d7f95ef2f884fa42a1977)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- (Obersumme)
![{\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b85a4b50ac9ceb1701989ef3fe0e926fd875d6b)
- (Untersumme)
![{\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6582c2212cdb1479ae465f4c4b3666828c142090)
nun:
- (Stieltjes-Obersumme)
![{\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4565f1dba449c734aa3eae3f3fe2992ce1752f)
- (Stieltjes-Untersumme)
![{\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c5c992b53498bc7bc576ac564ef65ded2eae7a)
Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen den selben Wert, so heißt bezüglich auf Riemann-Stieltjes-Integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist:
- oder .
Die Funktion h, auch als Integrator bezeichnet, regelt also, wie stark an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezielfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit (Identität) aufgefasst werden
Das Lebesgue-Stieltjes-Integral
Die Definition des Lebesgue-Stieltjes-Integrals fällt nicht schwer, da der monotonen Funktion ein (fast überall) eindeutiges Maß auf der Borelschen σ-Algebra durch die Vorschrift
![{\displaystyle {\mathcal {B}}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c5248948a65beb8ac5f4f4bb964f71a256db07)
![{\displaystyle {\hat {h}}([x,y[):=h(y-)-h(x-),\;\;{\hat {h}}([x,y]):=h(y+)-h(x-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347f2a11dafed7cd51286c87a61297ecbf69fce5)
zugeordnet werden kann (ist die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß). Ist nun bezüglich dieses Maßes Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als
- ,
wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgueintegral aufzufassen ist.
Nicht-monotone Integratoren
Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf . Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also mit monoton wachsend. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als
![{\displaystyle h_{1},h_{2}:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f016a3d5d044b4f5e56bbd273e04028871b50a11)
Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist.
Eigenschaften
- Falls zu und das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein.
- Die Linearität des Integrals in bleibt erhalten.
- Weiterhin ist das Stieltjesintegral auch linear im Integrator, also für Konstanten und Funktionen endlicher Variation
- Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \int_a^b f ~ \mathrm d(h+c) =\int_a^b f ~ \mathrm d(h)} für Konstanten .
- Treppenfunktionen als Integratoren: Ist stetig und eine Treppenfunktion, die in den Punkten Sprünge der Höhe vollführt, so gilt .
![{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in \;]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d4e6a1bee2de0b1be7164e308c7e2ed3740a17)
- Ist differenzierbar, so gilt (im Lebesgueschen Sinne: ist die Dichte von )
