„Satz von Liouville (Funktionentheorie)“ – Versionsunterschied
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Sei <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> durch <math>c \in \R</math> beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für [[Kurvenintegral]]e |
Sei <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> durch <math>c \in \R</math> beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für [[Kurvenintegral]]e |
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:<math>\left| f'(z) \right| = \left| \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_r(z)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^2}\mathrm{d}\zeta \right| \leq \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot\frac{c}{r^2} \rightarrow 0 \left(r\rightarrow\infty\right)</math> |
:<math>\left| f'(z) \right| = \left| \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_r(z)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^2}\mathrm{d}\zeta \right| \leq \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot\frac{c}{r^2} \rightarrow 0 \left(r\rightarrow\infty\right),</math> |
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und weil <math>\mathbb{C}</math> zusammenhängend ist, folgt die Behauptung. |
und weil <math>\mathbb{C}</math> zusammenhängend ist, folgt die Behauptung. |
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Alternativ: Da f holomorph ist, kann es als Potenzreihe geschrieben werden. Polynome sind aber nicht beschränkt, deshalb muss f konstant sein. |
Alternativ: Da <math>f</math> holomorph ist, kann es als Potenzreihe geschrieben werden. Polynome sind aber nicht beschränkt, deshalb muss <math>f</math> konstant sein. |
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==Bedeutung und Verallgemeinerungen== |
==Bedeutung und Verallgemeinerungen== |
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Version vom 11. Februar 2008, 21:17 Uhr
Der Satz von Liouville ist ein grundlegendes Ergebnis im mathematischen Teilgebiet Funktionentheorie. Er ist benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
Aussage
Sei eine beschränkte, ganze Funktion, d. h. ist holomorph auf ganz und es gibt eine Konstante mit für alle . Dann ist konstant.
Beweis
Die Behauptung folgt direkt aus der Integralformel von Cauchy, vgl. auch die Darstellung des Streits zwischen Cauchy und Liouville.
Sei durch beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für Kurvenintegrale
und weil zusammenhängend ist, folgt die Behauptung.
Alternativ: Da holomorph ist, kann es als Potenzreihe geschrieben werden. Polynome sind aber nicht beschränkt, deshalb muss konstant sein.
Bedeutung und Verallgemeinerungen
Der Satz von Liouville liefert einen besonders eleganten Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra.
Als Folgerung erhält man sofort, dass dicht in ist, wenn holomorph und nicht konstant ist. Eine Verschärfung dieser Tatsache ist der kleine Satz von Picard.
In der Sprache der Riemannschen Flächen bedeutet der Satz von Liouville, dass jede holomorphe Funktion von einer parabolischen Riemannschen Fläche (z. B. die komplexe Ebene ) auf eine hyperbolische Riemannsche Fläche (z. B. die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene) konstant sein muss.
Der sogenannte verallgemeinerte Satz von Liouville besagt:
Ist holomorph und gibt es reelle Zahlen so, dass für alle
gilt, so ist ein Polynom mit .
Ist , also beschränkt, so erhält man den "alten" Satz von Liouville, denn Polynome vom Grad kleiner gleich 0 sind konstant.
