Cauchysche Integralformel

Die cauchysche Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion $f$ im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung ist der Residuensatz.

Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben

Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph, $a\in D$ ein Punkt in $D$ und $U:=U_{r}(a)\subset D$ eine relativ kompakte Kreisscheibe in $D$ , dann gilt:

f|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta

Dabei ist $\partial U$ die positiv orientierte Kurve über den Rand von $U$ , also $t\mapsto a+re^{\mathrm {i} t}$ für $t\in [0,2\pi ]$ .

Beweis

Für festes $z\in U$ sei die Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert durch $w\mapsto {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}$ für $w\neq z$ und $w\mapsto f'(z)$ für $w=z$ . $g$ ist stetig auf $U$ und holomorph auf $U\setminus \{z\}$ . Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

0=\oint _{\partial U}g=\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -f(z)\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}

.

Die Funktion $h\colon U\to \mathbb {C}$ , $w\mapsto \oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -w}}$ ist holomorph mit der Ableitung $h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}$ , welche verschwindet, da der Integrand die Stammfunktion $\zeta \mapsto -{\frac {1}{\zeta -w}}$ hat. Also ist $h$ konstant, und wegen $h(a)=2\pi \mathrm {i}$ ist $h(z)=2\pi \mathrm {i}$ .

Folgerungen

Als Konsequenz aus diesem Satz erhält man durch Vertauschen von Differentiation und Integration die Tatsache, dass jede holomorphe Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist, und jede dieser Ableitungen wieder holomorph ist. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das

f^{(n)}|_{U}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar, denn Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta -z}}$ mit Hilfe der geometrischen Reihe und Einsetzen in die Integralformel für $f$ ergibt

f|_{U}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}.

Mit der Integralformel für $f^{(n)}$ folgt sofort, dass die Koeffizienten genau die Taylor-Koeffizienten sind.

Der Satz von Liouville lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra beweisen.

Beispiel

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

\oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}

Cauchysche Integralformel für Zyklen

Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph und $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $D$ , dann gilt für alle $z\in D$ , die nicht auf $\Gamma$ liegen, folgende Integralformel:

\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta

Dabei bezeichnet $\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)$ die Windungszahl von $\Gamma$ um $z$ .

Proteine

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