Higgs-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl , bei der die -te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz , dass die Higgs-Primzahl folgende Bedingung erfüllt:

wobei die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind; bei Primzahlen ist ).

Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

Beispiele

  • Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz (also für Quadrate) sind die folgenden:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Folge A007459 in OEIS)
  • Die Zahl ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz , weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also die Zahl als Teiler hat (es ist ).
  • Die Zahl ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz : das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also hat die Zahl nicht als Teiler (es bleibt Rest).
  • Die Zahl ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz , weil die -te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also die Zahl als Teiler hat (es ist ).
  • Bei höheren Potenzen sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz an:
Exponent 100. Higgs-
Primzahl
keine Higgs-Primzahlen für die Potenz bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz
2 1117 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen)
3 733 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen)
4 593 97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen)
5 563 193, 257, 449
6 547 257
7 547 257
8 541 ---

Eigenschaften

  • Für die Potenz gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:
2, 3, 7, 43
Beweis:
Angenommen, es gibt eine Primzahl (die nächste ist ), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz ist. Dann muss ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz , also von sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil kein Teiler der kleineren Zahl sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen aus. Alle Primzahlen scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus.
Beweis:
Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass
  • die erste Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
  • die zweite Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
  • die dritte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
  • die vierte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
  • die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl keine Higgs-Primzahl für ist.
  • Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.[1]
Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

Ungelöste Probleme

  • Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten existieren.

Einzelnachweise

  1. Stanley Burris, Simon Lee: Tarski's high school identities. American Mathematical Monthly 100 (3), 1993, S. 231–236, abgerufen am 2. Juli 2018.