Gruppenerweiterung

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gruppenerweiterungen eine Möglichkeit, Gruppen durch einen Normalteiler und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben.

Für Gruppen und ist eine Gruppenerweiterung von durch eine Gruppe mit einem surjektiven Gruppenhomomorphismus und Kern isomorph zu . Mit anderen Worten, es gibt eine exakte Sequenz

.

Notwendigerweise ist dann ein Normalteiler und isomorph zur Faktorgruppe .

Ein Morphismus zwischen zwei Erweiterungen derselben Gruppe ist ein Gruppenhomomorphismus mit .

Als triviale Erweiterung durch bezeichnet man die Projektion . Als zentrale Erweiterung bezeichnet man Erweiterungen, bei denen zum Zentrum von gehört. Insbesondere muss dann eine abelsche Gruppe sein.

Eine spezielle Klasse von Gruppenerweiterungen sind semidirekte Produkte . Eine Erweiterung ist genau dann ein semidirektes Produkt, wenn es einen Homomorphismus mit gibt. Auch für eine abelsche Gruppe ist ein semidirektes Produkt nur dann eine zentrale Erweiterung, wenn der das semidirektes Produkt definierende Homomorphismus trivial ist, es sich also um das direkte Produkt handelt.