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Gegenbauer-Polynom

Gegenbauer-Polynome mit α=1

Gegenbauer-Polynome mit α=2

Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall $[-1,1]$ mit der Gewichtungsfunktion $(1-x^{2})^{\alpha -1/2}$ , mit $\alpha >-1/2$ . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {\Gamma (\alpha +n-m)}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},

für $\alpha \neq 0$ , andernfalls

C_{n}^{(0)}(z)=\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},

Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion ${}_{2}F_{1}$ darstellen:

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha +n-1)!}{(2\alpha -1)!\,n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)

Der Wert für $z=1$ ist

C_{n}^{(\alpha )}(1)={n+2\alpha -1 \choose n}.

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

C_{0}^{(\alpha )}(z)=1

C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z

C_{2}^{(\alpha )}(z)=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}

C_{3}^{(\alpha )}(z)=-2\alpha (1+\alpha )z+4/3\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}

Referenzen

Eric W. Weisstein: Gegenbauer Polynomial. In: MathWorld (englisch).
Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, S. 774.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gegenbauer-Polynom

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Updated on 21. November 2021

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