Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies.[1] Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen zwischen und mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei die Primzahlfunktion, das heißt, ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als sind. Dann ist die ‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl , für die gilt:

für alle

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen , sodass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen. Weil die Funktion nur an einer primen Stelle wachsen kann, muss eine Primzahl sein und es gilt:

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 in OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall (mit ).

Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen, indem er die Ungleichung

für ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für .

Eigenschaften

Es gilt für jedes

,

wobei den natürlichen Logarithmus bezeichnet, sowie

für ,

wobei die -te Primzahl ist.

Asymptotisch gilt

für

woraus mit dem Primzahlsatz folgt:

Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow[2] bis auf die Ungleichung , die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies.

Beispiel

Die ersten Primzahlen lauten:[3]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … (Folge A000040 in OEIS)

Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften (dabei ist die Anzahl der Primzahlen und die -te Ramanujan-Primzahl):

für alle

und untersuchen nun diese für die ersten :

Einzelnachweise

  1. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (1919), 181–182.
  2. J. Sondow: Ramanujan primes and Bertrand’s postulate. In: American Mathematical Monthly. Band 116, 2009, S. 630–635, Arxiv, pdf.
  3. The first 1000 and 10000 primes