Exakter Funktor

Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Definition

Ein additiver, kovarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt

halbexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
linksexakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
rechtsexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist
exakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen $0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0$ in ${\mathfrak {C}}$ .^[1]^[2]

Ein kontravarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ${\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.^[3]

Beispiele

Die Hom-Funktoren $\mathrm {Hom} (A,-)$ und $\mathrm {Hom} (-,B)$ sind linksexakt.
Die Tensorprodukt-Funktoren $(A\otimes -)$ und $(-\otimes B)$ sind rechtsexakt.
Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
Für eine endliche Gruppe $G$ ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der $G$ -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
Für eine beliebige natürliche Zahl $n>1$ ist der Funktor

{\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Einzelnachweise

↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
↑ Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.
↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.

[1] Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.

[2] Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.

[3] Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.

[1]

[2]

[3]

Land Sachsen

Exakter Funktor

Definition

Beispiele

Einzelnachweise

What are your Feelings

Exakter Funktor

Definition

Beispiele

Einzelnachweise

What are your Feelings

Share This Article :