Eliminationsordnung
 | Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! () |
Eine Eliminationsordnung ermöglicht es einem bestimmte Variablen aus einem Gleichungssystem zu entfernen. Insbesondere bei Idealen kann es interessant sein, den Schnitt mit einem Teil der Variablen berechnen zu können.
Definition
Sei . Eine Monomordnung auf dem Polynomring heißt Eliminationsordnung für , falls gilt: .[1] Dabei bezeichnet den Leitterm bezüglich der Monomordnung.
![{\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e8db7267506355a2bc7c036fc4617f3547a5ee)
![{\displaystyle LT(f)\in K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]\Rightarrow f\in K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bdec3f2d0fce84df5415416ecb7b3e69bf5a80)
Beispiele
- Die lexikographische Ordnung ist eine Eliminationsordnung für alle Teilmengen .
- Blockordnungen können auch gut als Eliminationsordnungen verwendet werden.
Eliminationssatz
Sei eine Eliminationsordnung für , ein Ideal, und Gröbner-Basis von . Dann gilt: ist Gröbner-Basis von .[2]
![{\displaystyle I\subset K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d7f144ddff387e1fb1b4d5c472a56636c64377)
![{\displaystyle J=I\cap K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51db80dcae649337060eeb5e839135934cb49c18)
![{\displaystyle F=G\cap K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb6bf316a29dc3da34dbcd4ecb5bb415cb6c153)
Literatur
- David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2. Auflage 1997, S. 118
- Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister: Gröbner Bases and Algebraic Geometry in: Bruno Buchberger, Franz Winkler (Hrsg.), Gröbner Bases and Applications, London Math. Soc. LN 251, Cambridge UP 1998, S. 116
Einzelnachweise
- ↑ Sophia Feil: Gröbner-Basen und Regularität. (PDF) Abgerufen am 31. Juli 2019.
- ↑ Sophia Feil: Gröbner-Basen und Regularität. (PDF) Abgerufen am 31. Juli 2019.
