Dizyklische Gruppe
Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen der Ordnung , Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.
Konstruktion der Gruppe
Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe , die wir als multiplikative Untergruppe in realisieren, d. h.
Die Gruppe wird von erzeugt und es ist
Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung , damit ist. Indem wir die komplexen Zahlen als Unteralgebra der Quaternionen auffassen, ist auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums . Wir wollen als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher
- von erzeugte multiplikative Untergruppe von .
Da ist
- ,
und man kann zeigen, dass
Dazu rechnet man zunächst und damit ; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass tatsächlich nur die angegebenen Elemente enthält.[1]
Da die Elemente genauso wie die ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.[2]
Die dizyklische Gruppe als Erweiterung
Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:
- .
Dabei ist die Inklusionsabbildung und . Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.
Präsentation der dizyklischen Gruppen
Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen . Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung für erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen[3]:
- .
Dicn für kleine n
ist eine zur zyklischen Vierergruppe isomorphe Gruppe.
ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.
ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:
| 1 | a | a2 | a3 | a4 | a5 | b | ab | a2b | a3b | a4b | a5b | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | a2 | a3 | a4 | a5 | b | ab | a2b | a3b | a4b | a5b |
| a | a | a2 | a3 | a4 | a5 | 1 | ab | a2b | a3b | a4b | a5b | b |
| a2 | a2 | a3 | a4 | a5 | 1 | a | a2b | a3b | a4b | a5b | b | ab |
| a3 | a3 | a4 | a5 | 1 | a | a2 | a3b | a4b | a5b | b | ab | a2b |
| a4 | a4 | a5 | 1 | a | a2 | a3 | a4b | a5b | b | ab | a2b | a3b |
| a5 | a5 | 1 | a | a2 | a3 | a4 | a5b | b | ab | a2b | a3b | a4b |
| b | b | a5b | a4b | a3b | a2b | ab | a3 | a2 | a | 1 | a5 | a4 |
| ab | ab | b | a5b | a4b | a3b | a2b | a4 | a3 | a2 | a | 1 | a5 |
| a2b | a2b | ab | b | a5b | a4b | a3b | a5 | a4 | a3 | a2 | a | 1 |
| a3b | a3b | a2b | ab | b | a5b | a4b | 1 | a5 | a4 | a3 | a2 | a |
| a4b | a4b | a3b | a2b | ab | b | a5b | a | 1 | a5 | a4 | a3 | a2 |
| a5b | a5b | a4b | a3b | a2b | ab | b | a2 | a | 1 | a5 | a4 | a3 |
Hier ist und . Da , kann man auf die Potenzen verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei mit und bereits getan hatten. Es ist dann
Einzelnachweise
- ↑ H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press (1974), Kapitel 7.1 The Cyclic and Dicyclic groups = 74–75
- ↑ G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson: Theory and application of finite groups, New York, Wiley 1916, Nachdruck Dover (1961)
- ↑ Steven Roman: Fundamentals of group theory. Kapitel 12, Seite 347/348, Birkhäuser, Basel (2012)
