Datei:PiArchimedes.png
Originaldatei (595 × 841 Pixel, Dateigröße: 7 KB, MIME-Typ: image/png)
Diese Datei und die Informationen unter dem roten Trennstrich werden aus dem zentralen Medienarchiv Wikimedia Commons eingebunden.
Beschreibung
BeschreibungPiArchimedes.png | calculating pi like Archimedes with polygons |
Datum | 21. November 2006 (Original-Hochladedatum) |
Quelle | Die Autorenschaft wurde nicht in einer maschinell lesbaren Form angegeben. Es wird angenommen, dass es sich um ein eigenes Werk handelt (basierend auf den Rechteinhaber-Angaben). |
Urheber | Die Autorenschaft wurde nicht in einer maschinell lesbaren Form angegeben. Es wird Brf als Autor angenommen (basierend auf den Rechteinhaber-Angaben). |
Lizenz
Es ist erlaubt, die Datei unter den Bedingungen der GNU-Lizenz für freie Dokumentation, Version 1.2 oder einer späteren Version, veröffentlicht von der Free Software Foundation, zu kopieren, zu verbreiten und/oder zu modifizieren; es gibt keine unveränderlichen Abschnitte, keinen vorderen und keinen hinteren Umschlagtext.
Der vollständige Text der Lizenz ist im Kapitel GNU-Lizenz für freie Dokumentation verfügbar.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 nicht portiert“ lizenziert. | ||
| ||
Diese Lizenzmarkierung wurde auf Grund der GFDL-Lizenzaktualisierung hinzugefügt.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue |
- Dieses Werk darf von dir
- verbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werden
- neu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden
- Zu den folgenden Bedingungen:
- Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders.
- Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten.
Explanation
Archimedes of Syrakus prooved the identity of the two numbers a and b, where a is the quotient of the perimeter and the diameter of a circle and b is the quotient of the area and the square of the radius of the same circle. He did not yet use the name pi for this number, but he described how this number could be calculated using inscribed and circumscribed polygons. This is presumably the oldest numerical approximation in mathematical history. Archimedes himself calculated pi using polygons with up to 96 vertices and got his famous result:
In modern mathematical language the approximation uses an unit circle (r = 1) and starts with simple polygons with small vertice numbers like n = 2, 3, 4 or 6 and the respective edge lengths , , or .
Then the vertice number is doubled using the line and in two rectangled triangles the theorem of Pythagoras ( and ). The result is the edge length :
With this formula an approximation of pi can be calculated using elementary arithmetic (addition, subtraction, multiplication, division and square root). The following table contains the begin of this approximation starting with a "two-angle". It gives the numbers n (vertice number), the distance between line mid S of AB and perimeter of the circle, the edge lengths and of the inscribed and circumscribed polygon and the respective areas and . These areas should enclose pi and they should converge to pi.
The calculation is numerically unstable because the subtraction produces a cancellation of digits and can be used to demonstrate cancellation.
2 1.000e+00 2.00e+00 Inf 0.00000000000000 Inf 4 2.929e-01 1.41e+00 2.00e+00 2.00000000000000 4.00000000000000 8 7.612e-02 7.65e-01 8.28e-01 2.82842712474619 3.31370849898476
In dieser Datei abgebildete Objekte
Motiv
Urheberrechtsstatus
urheberrechtlich geschützt
Lizenz
Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5 generisch
Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0
Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 1.0
GNU-Lizenz für freie Dokumentation Version 1.2 oder später
Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Generisch
Dateiversionen
Klicke auf einen Zeitpunkt, um diese Version zu laden.
Version vom | Vorschaubild | Maße | Benutzer | Kommentar | |
---|---|---|---|---|---|
aktuell | 11:00, 22. Nov. 2006 | 595 × 841 (7 KB) | Brf | {{Information |Description=Graphic to explain the calculation of pi after Archimedes |Source=own work |Date=2006/11/22 |Author=brf |Permission=own work |other_versions=non }} | |
10:43, 22. Nov. 2006 | 595 × 841 (7 KB) | Brf | |||
16:58, 21. Nov. 2006 | 595 × 841 (6 KB) | Brf | calculating pi like Archimedes with polygons |
Dateiverwendung
Die folgende Seite verwendet diese Datei: