Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Bleistift und Papier, die im Schulunterricht gelehrt wird.

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:

Für jede Zahl a und für jede von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die folgende Gleichung erfüllt:

b · x = a (lies: b mal x gleich a)

Die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"):

x = a : b (lies: x gleich a geteilt durch b)

Die auftretenden Terme heißen wie folgt:

Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt „Dividend“.

Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt „Divisor“.

Der Term a:b heißt „Quotient“.

Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“.

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz.

Siehe auch: Kehrwert

Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da ansonsten der Quotient a : b als Lösung der Gleichung b · x = a für b = 0 nicht eindeutig definiert ist:

Gäbe es zu einer gegebenen Zahl eine Zahl , so wäre diese Zahl Lösung der Gleichung , womit wir einen Widerspruch zur Voraussetzung erhalten, d. h. es gibt keine Lösung für x.

Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl , so wäre diese Zahl (eindeutige) Lösung der Gleichung , also zu einer Gleichung, die für jedes richtig ist. Damit ist aber der Bruch nicht eindeutig definiert und wird daher nicht definiert.

Da also der Quotient "a : 0" entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung (für a gleich 0) hat, sagt man allgemein:

„Die Division durch Null ist nicht definiert. Nur Chuck Norris kann und darf durch Null dividieren“.

In der Analysis von Funktionen hat man sich in diesem Punkt dadurch beholfen, dass man einen Grenzwert (also keine „Lösung“) wie folgt definiert:

.

Bei Annäherung aus dem positiven Zahlenbereich ist es , und bei Annäherung aus dem negativen Bereich.

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt:

Hier ist die Division im Allgemeinen nicht vollständig durchführbar, das heißt, wenn der Dividend kein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist, bleibt ein Rest übrig. Für die ganzzahlige Division siehe Division mit Rest.

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen):

a : b

a ÷ b

a / b

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz (echter) Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Im Alltag schreibt man auch unechte Brüche, also das Infimum als ganze Zahl und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1½ statt 3/2.

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien

• Rationale Funktion Division von Funktionen
• Gruppe
• Ring
• Schiefkörper
• Divisionsalgebra
• Teilbarkeit
• Kehrwert