„Benutzer:Nijdam/Vorschlag Ziegenproblem“ – Versionsunterschied

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Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“, Monty Hall) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Das Problem wurde 1990 in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn"-Kolumne im Parade Magazine formuliert:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“

– Game-Show-Problem^[1]

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Sie erklärte die Lösung des Problems ähnlich wie bei „eine Million Tore“ dargestellt.^[1]. Ihre Antwort lautete: "Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3."

Kontroversen

Es gibt zwei Hauptargumente, die zu Zweifeln an ihrer Lösung führen:

Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folgt, ist ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor ist aber nicht 2/3 sondern nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl stehen. Die Chancen sind auf beide Tore gleichverteilt.
Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur mittels der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl ihres Tores ändern. Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert Savants Lösung auf willkürlichen Annahmen, die sie unzulässigerweise in den Leserbrief hinein interpretiert hat.

Das erste Argument wird im folgenden Abschnitt widerlegt. Das zweite Argument wird weiter unten anhand mehrerer Spielvarianten ausgeführt. Dabei ergibt sich, dass keine eindeutige Lösung existiert.

Variante nach Marilyn vos Savant

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde. (Krauss and Wang 2003:10)^[1]

Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Minimallösung

Die Regeln 4, 5 und 6 lassen sich zu einer neuen Regel 4* zusammenfassen:

4*. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und die beiden anderen ungeöffneten Tore zu wählen.

Es ist nämlich gleichgültig, ob der Moderator erst das eine nicht gewählte Tor, mit einer Ziege dahinter, öffnet, und anschließend der Kandidat das andere verbliebene nicht gewählte Tor öffnen darf, oder ob der Kandidat beide nicht gewählten Tore öffnen darf. Da der Kandidat nun ein geschlossenes Tor gegen zwei geschlossene Tore tauschen kann, sollte er es natürlich tun und damit seine Gewinnchancen auf p = 2/3 verdoppeln.

Einfache Lösung

Zur Vereinfachung sei angenommen, das Auto befinde sich hinter Tor 1, hinter Tor 2 und 3 befinde sich jeweils eine Ziege. Der Beweis wird analog geführt, wenn sich das Auto stattdessen hinter Tor 2 bzw. 3 befände. Es gibt nun drei Fälle zu unterscheiden:

Der Kandidat wählt Tor 1 (das Auto). Daraufhin öffnet der Moderator nach dem Zufallsprinzip (Regel 4) eines der beiden verbleibenden Tore mit den Ziegen dahinter. Wenn der Kandidat anschließend seine Wahl ändert, entgeht ihm der Gewinn.
Der Kandidat wählt Tor 2 (eine Ziege). Daraufhin öffnet der Moderator das andere Tor (Tor 3) mit einer Ziege (Regel 5). Wenn der Kandidat anschließend seine Wahl ändert, gewinnt er das Auto.
Der Kandidat wählt Tor 3 (eine Ziege). Daraufhin öffnet der Moderator das andere Tor (Tor 2) mit einer Ziege (Regel 5). Wenn der Kandidat anschließend seine Wahl ändert, gewinnt er das Auto.

Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei von drei möglichen Fällen das Auto. (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8; Martin 2002).

Tabellarische Lösung

Als Ausgangslage wird angenommen der Kandidat wählt anfangs Tor 1 und der Moderator öffnet Tor 3. Andere Kombinatione lassen sich auf ähnlicher Weise analysieren, und führen zum gleichen Ergebnis. Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, gibt es die nachfolgende Möglichkeiten.

Der Kandidat wählt Tor 1
Auto hinter Tor 1		Auto hinter Tor 2	Auto hinter Tor 3

Der Moderator öffnet eins der Tore mit einer Ziege		Der Moderator kann nur Tor 3 öffnen	Der Moderator kann nur Tor 2 öffnen

Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/3	Wahrscheinlichkeit 1/3
Dieser Fall ist nicht eingetreten	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall ist nicht eingetreten
	Wechslen gewinnt eine Ziege	Wechslen gewinnt das Auto
	Wechslen gewinnt in 2 von 3 Fälle das Auto

Formelle Lösung

Es sind die Ereignisse definiert:

M_{1}

: Der Moderator hat das Tor 1 geöffnet

G_{1}

: Der Gewinn ist im Tor 1

analog für die Indizes 2 und 3

Es liege beispielsweise folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})$ , dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung liegen folgende Voraussetzungen vor:

{\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}&(1)\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}&(4)\\&P(M_{3}|G_{3})=0&(5)\\&P(M_{3}|G_{2})=1&(5)\end{aligned}}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

{\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}

Der Kandidat sollte wechseln.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, öffnet der Moderator alle anderen Tore bis auf eines. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle Nieten bis auf eine entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Andere Spielvarianten

Aus dem Leserbrief geht nicht hervor, dass sich der Moderator an bestimmte Verhaltensregeln hält. Selbst wenn er gemäß solcher Regeln handeln würde, wäre nicht gewährleistet, dass der Kandidat diese Regeln auch kennt. Darüberhinaus gibt die Problemstellung keine Auskunft darüber, ob sich der Kandidat in einer einmaligen Spielsituation befindet oder ob das Spiel schon häufiger stattgefunden hat. Im zweiten Fall wäre es denkbar, dass der Kandidat Verhaltensweisen des Moderators verallgemeinern und daraus bestimmte Regeln ableiten konnte. Wegen dieser Unklarheiten in der Fragestellung existieren verschiedene Interpretationsvarianten, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden. Dabei wird immer Bezug genommen auf die im Leserbrief beschriebene konkrete Spielsituation. Außerdem wird vorausgesetzt, dass der Kandidat die Verhaltensregeln des Moderators kennt. Die Entscheidung des Kandidaten ist dann in bestimmten Spielsituationen trivial zu treffen. Kennte er diese Regeln nicht müsste er sich so entscheiden als ob der Moderator sich an keine Regel halten würde. Es folgt die Erläuterung seiner Strategie gemäß den vorausgesetzten Verhaltensregeln des Moderators.

Keine Regel

In diesem Fall bleibt dem Kandidaten nichts weiter übrig als seine Wahl zufällig oder nach einem Münzwurf zu treffen. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demgemäß p=1/2.

Der nette Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor 1 nicht die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, wählt er natürlich jetzt Tor 2 und gewinnt sicher.

Der fiese Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor1 die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, bleibt er natürlich bei Tor 1 und gewinnt sicher.

Der unwissende Moderator

Der Moderator, der Tor 1 auf keinen Fall öffnet, weiß nicht was sich hinter den Toren befindet und öffnet zufällig Tor 3 ohne das Auto dabei vermeiden zu wollen. Auf Grund der Problemstellung liegen folgende Bedingungen vor:

Es sind die Ereignisse definiert:

M_{1}

: Der Moderator hat das Tor 1 geöffnet

G_{1}

: Der Gewinn ist im Tor 1

analog für die Indizes 2 und 3

{\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}\\&P(M_{3}|G_{2})={\tfrac {1}{2}}\\&P(M_{3}|G_{3})={\tfrac {1}{2}}\\\end{aligned}}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

{\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.\end{aligned}}

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der nicht eingeschränkte Moderator

Der Moderator, der alle Tore einschließlich des vom Kandidaten zuvor gewählten Tores 1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet, öffnet zufällig Tor 3. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

{\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{2})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\\end{aligned}}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

{\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.\end{aligned}}

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Historie

1975 schrieb Steve Selvin in einem Brief an den "American Statistician" über ein Problem, das mehr oder weniger basierte auf der Fernsehschau Let's Make a Deal (Selvin 1975a). In einem weiteren Brief nannte er es das "Monty Hall problem" (Selvin 1975b). Das Problem ist mathematisch gleichwertig (Morgan et al., 1991) mit dem Gefangenenparadoxon aus Martin Gardners "Mathematical Games column" im Scientific American in 1959 (Gardner 1959a).

Selvins Problem wurde 1990 neuformuliert in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn"-Kolumne im Parade Magazine.

Literatur

Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbeck 2004, ISBN 3-499-61905-9
Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0521833299
Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3
Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 51-52, 105-107
Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (dartmouth.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2008]).

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c Game-Show-Problem – gesammelte Leserbriefe und Antworten innerhalb des Webauftritts von Marilyn vos Savant

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Siehe auch

[HOMEPAGE-1] Game-Show-Problem – gesammelte Leserbriefe und Antworten innerhalb des Webauftritts von Marilyn vos Savant

[1]

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Version vom 26. Juni 2009, 18:58 Uhr

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