Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt.

Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen.

Grundbegriffe:

Sei ein komplexer Vektorraum und ein linearer Operator. Ein Unterraum ist -invariant, falls , das heißt also für alle .^[1] Gilt zusätzlich und , dann ist nicht-trivial.

Ein Unterraum ist invariant unter der Familie von Operatoren , falls -invariant für alle ist.

Ein Unterraum ist hyperinvariant für , falls er invariant für alle Operatoren ist, die mit kommutieren ().

Mit bezeichnen wir den Raum der beschränkten und linearen Operatoren auf .

Sei ein komplexer Banach-Raum mit und . Existiert dann ein abgeschlossener, nicht-trivaler -invarianter Unterraum?^[2]

Die Problemstellung lieferte viele Teillösungen, die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen:^[3]

1. Banach-Räume, auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt.
2. Operatoren ohne invariante Teilräume auf einer großen Klasse von Funktionenräumen.

1950 bewies John von Neumann, dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert-Raum einen nicht-trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt.^[2]

1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow, welcher sagt, dass wenn der Operator auf einem Banach-Raum mit einem kompakten Operator kommutiert, einen nicht-trivialen invarianten Unterraum hat.^[4]

1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach-Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert.^[5] Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenräumen. Für Hilbert-Räume ist das Problem weiterhin ungelöst.

1. ↑ Peter D. Lax: Functional Analysis. Hrsg.: John Wiley & Sons, Inc. 2002, ISBN 0-471-55604-1 (englisch). 
2. ↑ ^{a b} Isabelle Chalendar, Jonathan R. Partington: An overview of some recent developments on the Invariant Subspace Problem. In: Concrete Operators. Nr. 1, 2012, S. 53–56, doi:10.2478/conop-2012-0001. 
3. ↑ V. I. Lomonosov, V. S. Shulman: Invariant Subspaces for Commuting Operators on a Real Banach Space. In: Functional Analysis and Its Applications. Nr. 52, 2018, S. 53–56, doi:10.1007/s10688-018-0207-6. 
4. ↑ V.I. Lomonosov: Invariant subspaces of the family of operators that commute with a completely continuous operator. In: Functional Analysis and Its Applications. Vol. 7, 1973, S. 213–214, doi:10.1007/BF01080698. 
5. ↑ Per Enflo: On the invariant subspace problem for Banach spaces. In: Acta Math. Nr. 158, 1987, S. 213–313, doi:10.1007/BF02392260.