Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra^[1]:

Es sei

M

ein endlich erzeugter nichttrivialer

R

-Modul und

{\mathfrak {a}}

ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von

R

liegt. Dann ist

{\mathfrak {a}}M\neq M

.

Beweis

Wir nehmen ${\mathfrak {a}}M=M$ an. Es sei $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}$ ein minimales Erzeugendensystem von $M$ . Da $M$ nichttrivial ist, folgt $n\geq 1$ und $u_{n}\not =0$ .

Da nach Annahme $u_{n}\in {\mathfrak {a}}M$ , gäbe es dann eine Gleichung der Form $u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ mit $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$ , also $(1-a_{n})u_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}$ .

Da $a_{n}$ im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor $1-a_{n}$ eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

Ist $M$ ein endlich erzeugter $R$ -Modul, $N$ ein Untermodul und ${\mathfrak {a}}\subset J(R)$ ein Ideal, so gilt

M={\mathfrak {a}}M+N\ \Rightarrow \ M=N

.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird^[2], kann man zum Heben von Basen verwenden:

Es seien $R$ ein lokaler Ring, ${\mathfrak {m}}$ sein maximales Ideal und $\kappa :=R/{\mathfrak {m}}$ der Restklassenkörper.

Sind dann

x_{1},\ldots ,x_{n}

Urbilder einer Basis des

\kappa

-Vektorraums

M/{\mathfrak {m}}M

, so erzeugen die

x_{i}

den Modul

M

.

Einzelnachweise

↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24
↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2

[1] Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24

[2] Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2

[1]

[2]

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