Wiederkehrsatz von Kac

In der Ergodentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Wiederkehrsatz von Kac die Frage, nach welcher mittleren Wiederkehrzeit bei diskreten ergodischen Systemen eines Wahrscheinlichkeitsraums die Elemente gewisser messbarer Mengen zum ersten Mal wieder zu diesen Mengen zurückkehren. Dieser Lehrsatz geht auf eine wissenschaftliche Arbeit des Mathematikers Marek Kac (1914–1984) aus dem Jahre 1947 zurück und schließt an den Wiederkehrsatz von Poincaré an.^[1]^[2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst folgendermaßen formulieren:^[3]^[4]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(X,\Sigma ,P)$ und dazu eine auf $(X,\Sigma ,P)$ ergodische Transformation $T\colon X\to X$ .

Weiter sei eine messbare Menge $A\in \Sigma$ gegeben und es gelte $P(A)>0$ .

Dann gilt hinsichtlich der mittleren Wiederkehrzeit die Gleichung

\int _{A}n_{A}(x)\,\mathrm {d} P_{A}(x)={\frac {1}{P(A)}}

.

Für $A\in \Sigma$ und $x\in A$ betrachtet man den Wert $n_{A}(x):=\inf\{\,m\in \mathbb {N} \mid m\geq 1\,,\,T^{m}(x)\in A\,\}$ als die Wiederkehrzeit, mit der $x$ zum ersten Mal nach $A$ zurückkehrt. Die so gegebene numerische Funktion $n_{A}\colon A\to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ist eine $P$ –fast überall endliche und $P$ –integrierbare Funktion.
Für $A\in \Sigma$ ist $P_{A}$ das auf $A$ eingeschränkte Maß.
In der englischsprachigen Fachliteratur wird der obige Wiederkehrsatz als Kac's recurrence theorem oder mitunter auch einfach als Kac's theorem bezeichnet.

Gilbert Helmberg, Fred H. Simons: A dualization of Kac's recurrence theorem. In: Indagationes Mathematicae. Band 28, 1966, S. 608–615 (MR0224772).
Konrad Jacobs (Hrsg.): Selecta Mathematica. IV (= Heidelberger Taschenbücher. Band 98). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1972, ISBN 3-540-05782-X.
M. Kac: On the notion of recurrence in discrete stochastic processes. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, 1947, S. 1002–1010 (MR0022323).
Mark Pollicott, Michiko Yuri: Dynamical Systems and Ergodic Theory. Transferred to digital printing 2008 (= London Mathematical Society Student Texts. Band 40). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-57294-0 (MR1627681).

↑ Selecta Mathematica. IV (Hrsg. Konrad Jacobs) 1972, S. 46–56
↑ Mark Pollicot, Michiko Yuri: Dynamical Systems and Ergodic Theory. 1998, S. 91–97
↑ Selecta Mathematica. IV, S. 49
↑ Pollicot/Yuri, op. cit., S. 92