Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus ausdrücken:

Funktion für v = 2:

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

Spezielle Werte

Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

Beispielsweise gilt:

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

mit der imaginären Einheit , der Goldenen Zahl und der catalanschen Konstanten .

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion

und die dirichletsche Beta-Funktion :

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

Siehe auch

Referenzen