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Apollonios von Perge (auch: Apollonius Pergaeus, * 262 v. Chr. in Perge; † 190 v. Chr. in Alexandria) war ein griechischer Mathematiker.

In seinem bedeutendsten Werk Konika ("Über Kegelschnitte") widmete er sich eingehenden Untersuchungen über die Problematik der Kegelschnitte, Grenzwertbestimmungen und Minimum-Maximum-Problemen. Er wies nach, dass die drei verschiedenen Kegelschnitte (Ellipse, Parabel und Hyperbel), deren Namen und Definitionen er einführte, vom selben allgemeinen Kegeltypus stammen. Nach Apollonios von Perge ist auch der Kreis des Apollonios und das Apollonische Problem benannt. Weitere Erfolge hatte er in der Astronomie.

In der Astronomie trug Apollonios zur Epizykeltheorie bei und zeigte deren Verbindung zur Exzenter-Theorie. Er erklärte damit die rückläufige Planetenbewegung und die Bewegung des Mondes. Seine Theorien wurden unter anderem von Hipparchos und Claudius Ptolemäus aufgegriffen und weiterentwickelt.

Über sein Leben ist nur wenig bekannt. Er studierte und arbeitete in Alexandria unter Ptolemaios III. und Ptolemaios IV., besuchte Kleinasien und lebte für kurze Zeit in Pergamon.

Über das Leben und die persönlichen Verhältnisse des Apollonius ist nur relativ wenig bekannt. Apollonius stammt aus Perge in Pamphylien, das damals zum Diadochenreich von Pergamon gehörte. Seine Lebensdaten sind nicht bekannt und lassen sich nur aus indirekten Hinweisen erschließen. Er soll unter dem Ptolemaios III. Euergetes († 221 v. Chr.) geblüht haben, so daß seine Lebensdaten meist als die Zeit von 262 bis 190 v. Chr. angegeben werden. Er wäre demnach etwa fünfundzwanzig Jahre jünger als Archimedes und hat Euklid nicht mehr erlebt.

Über seine persönlichen Verhältnisse ist nur bekannt, daß er einen Sohn mit dem gleichen Namen hatte, der in der Vorrede zum ersten Buch der Kegelschnitte erwähnt wird. Apollonius studierte in Alexandria bei Schülern des Euklid am Museion und verfaßte dort auch die erste Fassung seines Buches über die Kegelschnitte. Später hielt er sich auch in Ephesos und Pergamon auf und lehrte in Alexandria ^[1] Neben Alexandria war besaß auch Pergamon eine in der Antike berühmte Bibliothek und war ein Zentrum der Wissenschaft.

Apollonius war nicht der erste griechische Mathematiker, der ein Werk über die Kegelschnitte verfaßte, bereits von Euklid lag eine Buch mit den Titel „Die Elemente der Kegelschnitte“ vor, das verschollen ist und auch Archimedes bewies einige Sätze zu diesem Thema.[van der Warden S. 401]. Apollonius bezieht sich in seinen auf einige Mathematiker, unter anderem auf Euklid.

Über die Umstände der Entstehung des Buches und einige seiner Ziele sind wir über die Vorreden informiert, die Apollonius den einzelnen Büchern vorangestellt hat, die Vorrede des dritten Buches und das gesamte achte Buch sind jedoch verloren. In der Vorrede des ersten Buchs gibt er eine Übersicht über den Inhalt der acht Bände.

Die erste Fassung des Buches über die Kegelschnitte wurde in Alexandria abgefaßt auf Bitten des Geometers Neucreates in Eile, denn Apollonius wollte es ihm bei seiner Abreise mitgeben. Eine überarbeite Fassung der ersten drei Bücher sandte es später dem Mathematiker Eudemos von Pergamon zu, den er persönlich kannte.

Nach dessen Tod widmete er die Bücher IV bis VII und wahrscheinlich auch das achte dem Attalos. Es könnte sich um den König Attalos I. von Pergamon handeln, jedoch spricht Apollonius ihn nicht mit einem Titel sondern nur mit Namen an, was diese Vermutung etwas entkräftet ^[2], außerdem setzt er auch mathematischen Interesse bei seinem Adressaten voraus.

Die ersten vier Bücher enthalten die „Elemente“, d.h. heißt die Grundlage der Wissenschaft der Kegelschnitte, während die weiteren vier spezielle Eigenschaften und Aufgaben behandeln.

Das ganze Werk ist streng nach der axiomatischen Methode des Euklid aufgebaut und gliedert sich in Definitionen, Sätze und deren Beweise, sowie Aufgaben, also Konstruktionsprobleme und deren Lösung. Die Inhalte der Elemente des Euklid, die elementare Geometrie, wird als bekannt vorausgesetzt und verwendet.

Eine außer-mathematische Motivation zum Inhalt gibt Apollonius nicht an, ebenso wenig wie er außerhalb der Vorreden Kommentare zu den Sätzen und Beweise angibt. Er sagt jedoch in der Vorrede zum vierten Buch über die Aufname einiger Sätze : „...auch wenn kein Nutzen vorhanden wäre, so sind sie [diese Lehrsätze] doch um ihrer selbst willen wert aufgenommen zu werden, denn auch viele andere Sätze sind wir gewohnt aus diesem Grund allein und aus keinem anderen in die mathematischen Disziplinen aufzunehmen.“ ^[3]

Alle mathematischen Sachverhalte sind in natürlicher Sprache formuliert und benutzen nur Buchstaben zur Benennung von Punkten, und diese wiederum zur Kennzeichnung von Strecken, Figuren und Ebenen, z.B. ein Dreieck ABC oder eine Ebene durch die Punkte DEF. Einen weiteren Formalismus benutzte (und kannte) Apollonius nicht, er macht jedoch ausgiebig von der Proportionslehre von Strecken und Flächen Gebrauch; sie sind jedoch stets als ganze Sätze formuliert. Die Illustrationen der Konstruktionen mit Abbildungen und der Benennung der Punkte sind für das das Verständnis des Textes erheblich.

Apollonius beginnt sein Buch mit der Definition des Kegels:

„Wenn von einem Punkte nach dem Umfang eines Kreises, der nicht in derselben Ebene mit dem Punkt liegt, eine gerade Linie gezogen und nach beiden Seiten verlängert wird, und, indem der Punkt fest bleibt, im Umfang der Kreises herumgeführt wird, bis sie wieder an den Ort zurückkehrt, von wo sie sich zu bewegen anfing, so nenne ich die von der geraden Linie beschrieben Oberfläche, welche aus zwei Teilen besteht, die im Scheitel unter sich zusammenhängen, und welche beide ins Unendliche fortgehen, da ja die erzeugende gerade Linie ins Unendliche verlängert ist, die Kegeloberfläche.“ (Buch I, Anfang)

Im Gegensatz zu Euklid, der den Kegel als Rotationskörpers eines Dreiecks erzeugt, schließt diese Definition auch schiefe Kegel ein. Vor Archimedes wurden die Kegelschnitte nur durch Schnitte senkrecht zu einer Erzeugenden aus geraden Kegeln erzeugt, die Art des Kegelschnitts hängt dann von dem Scheitelwinkel des Kegels ab. Die Bezeichnungen der Kegelschnitte bezogen sich entsprechend auf diesen Winkel, die Parabel heißt dann „Schnitt des rechtwinkligen Kegels“, die Hyperbel wird aus dem stumpfwinkligen Kegel erzeugt die Ellipse aus dem spitzwinkligen.[van der Waerden S. 403] Apollonius ist in der Lage alle Arten von Kegelschnitte aus beliebigen schiefen Kegeln zu erzeugen. Er führte als erster die klassischen Bezeichnungen Parabel, Hyperbel und Ellipse ein, die sich auf die kennzeichnende Rechtecksproportion (Symptom) beziehen.

Nach weiteren Definitionen des Durchmesse und Scheitels, beweisen Apollonius zunächst einige Eigenschaften über den Kegel bevor er die Kegelschnitte selbst einführt. Als Beispiel der Art des Beweises gebe ich hier die Definition der Parabel und den Beweis ihres Symptoms wieder. Die Schreibweisen der Proportionen im Beweis folgen der Bearbeitung von Balsam.

„Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und von einer zweiten Ebene so geschnitten wird, daß sie Durchschnittslinien der beiden Ebenen mit der Grundfläche senkrecht aufeinander stehen und wenn der Durchmesser des durch die zweite Ebene erhaltenen Kegelschnitts einer Schenkelseite des Achsendreiecks parallel ist, so ist das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt des Kegelschnittes in der zweiten Ebene parallel der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie bis zum Durchmesser hin gezogenen Linie gleich dem Rechteck aus dem durch diese Linie vom Durchmesser nach dem Scheitel hin abgeschnitten Stück und einer anderen Länge, welche sich zu dem den Scheitel des Kegels mit dem des Kegelschnitts verbindenden Stück ebenso verhält wie das Quadrat der Grundlinie des Achsendreiecks zu dem Rechteck aus den beiden übrigen Seite. Einen Kegelschnitt dieser Art nenne ich Parabel.“ [Buch I, 11]

Den Beweis führt Apollonius geometrisch durch die Konstruktion des angegebenen Rechtecks, für einen beliebigen Punkt K auf dem Kegelschnitt.

Der Kegel sei gegeben durch den Scheitelpunkt A und den Grundkreis BC, ABC sei das durch Schnitt erzeugte Achsendreieck. Eine zweite Ebene DEF schneide den Kegel so, daß ihre Schnittlinie mit dem Grundkreis DE senkrecht zu Strecke BC steht, und der Durchmesser des entstandenen Kegelschnitts FG parallel zur Seite AC des Achsendreiecks ist.

Zur Konstruktion der geforderten Proportionen wird eine Strecke FH benötigt, die in der Kegelschnittebene senkrecht auf FG steht und deren Länge folgender Proportion genügt

FH:FA = BC² : BA×CA

Wählt man nun einen Punkt K auf dem Kegelschnitt und zieht eine Strecke KL von diesem Punkt zum Durchmesser parallel zu DE so ist die Behauptung

KL² = FL × FH

Sei MN eine Parallele zu BC durch den Punkt L, so ist die durch MN und KL gebildete Ebene parallel zur Grundfläche des Kegels und M, N und K liegen auf dem Schnittkreis mit der Kegelfläche. Da DE senkrecht zu BC ist, ist auch KL senkrecht zu LM, so daß KL die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks KMN bildet und gilt es gilt

KL² = ML × LN

Da die Dreiecke ABC und FML kongruent sind gilt

ML:FL = BC:AC

Ein Grundkreis des Kegels durch den Punkt F hat den Durchmesser LN, da FG parallel zu AC ist. Wegen der Kongruenz des Achsendreiecks ABC zu dem Achsendreiecks dieses Grundkreises gilt

LN : FA = BC : AB

Durch Kombination diese Proportionen erhält man :

M × LN : FL × FA = BC² : AB × AC

Nach Voraussetzung gilt

ML×LN : FL×FA = FH:FA

Daraus folgt die Behauptung

KL² = ML×LN = FL×FH.

Hyperbel und Ellipse werden in ähnlicher Weise eingeführt und das Symptom bewiesen. Nach dem Apollonius auch die beiden zusammengehörenden zwei Äste als „Gegenschnitte“ eingeführt hat, beweist er im Rest der ersten Buches weitere elementare Sätze über Achsen und Durchmesser.

Am Ende des Buches zeigt er, das es möglich ist für einen vorgegeben Kegelschnitt und eine vorgegebene Schnittebene einen erzeugenden Kegel zu bestimmen. [Buch I, 49-51]

Das zweite Buch behandelt ausführlich die geometrischen Eigenschaften von Durchmessern , Achsen und Asymptoten der Kegelschnitte, insbesondere über mögliche Schnittpunkte von Tangenten und Sehnen unter verschieden Bedingungen. Apollonius zeigt auch, daß sich Hyperbel und Asymptoten näherkommen als jede vorgegebene Größe, wenn man sie verlängert. [Buch 2,14] Die Ergebnisse der Lehrsätze lassen sich in den Konstruktionsaufgaben zusammenfassen, diese beinhalten die Konstruktion des Durchmessers und der Achse eines gegebenen Kegelschnitts, sowie des Mittelpunktes einer Ellipse oder Hyperbel. Außerdem werden Tangenten an einen Kegelschnitt konstruiert, die mit der Achse oder dem Durchmesser im Berührungspunkt (bei Parabel oder Hyperbel) einen bestimmten Winkel bilden oder einen gegebenen Punkt außerhalb der Kegelschnitts treffen. [Buch 2,44-51] Im nächsten Buch befaßt sich Apollonius mit Sätzen, die zur Konstruktion von Örtern zu drei und vier Linien nötig sind. Er nennt seine Sätze in der Vorrede zu ersten Buch „sehr schön und neu“ und bemerkt, daß Euklid dieses nur „zum kleine Teil und nicht besonders glücklich“ getan habe und seine eigene Sätze dazu nötig seien.

Die Bücher IV-VI Buch zeigen besonders Apollonius‘ geometrische Sichtweise der Kegelschnitte. Das vierte Buch behandelt die Möglichkeiten der Schnitte von Kegelschnitte und Gegenschnitte untereinander. Als Beispiel könne folgende Sätze dienen. Zwei Kegelschnitte können sich in nicht mehr als vier Punkten scheiden (IV, 25)

Ein Paar Gegenschnitte kann von einem anderen in höchsten vier Punkten geschnitten werden. [IV, 53] Außerdem gibt er noch zahlreiche Fälle an, in denen es weniger als vier Schnittpunkte gibt, z.B.:

Berührt ein Kegelschnitt einen von zwei Gegenschnitten mit seine hohlen Seite, so trifft er den anderen nicht. [IV, 37]

Im fünften Buch werden Maximal- und Minimallinien, d.h. Strahlen mit minimaler und maximaler Länge von einem beliebigen Punkt zum Kegelschnitt. Apollonius zeigt, daß eine Senkrechte zu einer Minimal- oder Maximallinie eine Tangente ist. [V, 31,32]

Das sechste Buch behandelt die Kongruenz und Ähnlichkeit von Kegelschnitten. Es wird gezeigt, daß nur Kegelschnitte gleicher Art zueinander kongruent sein können, nicht kongruente Schnitte sind auch nicht stückweise kongruent. [VI 3,6,10] Außerdem macht er Aussagen, wann zwei Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln einander ähnlich sind, bei Parabeln ist dies stets der Fall. [VI 12-14]

Das siebte Buch enthält vorbereitende Sätze für das verschollen achte Buch. , insbesondere Fallunterscheidungen

In der Antike wurde das Werk über die Kegelschnitte wahrscheinlich von Hypatia kommentiert und Pappos verfaßte eine Sammlung Lemmata zu allen acht Büchern. Im 6. Jahrhundert gab Eutocius einen kommentierten Text der ersten vier Bücher heraus und stellte eine Veröffentlichung der weiteren in Aussicht, zu der es aber nicht kam. Nur dieser Text war im Westen bekannt, Bücher V-VIII lagen nicht vor. Über die Überlieferung des Werkes im lateinischen Westen ist wenig bekannt, Witelo kannte aber 1270 die ersten beiden Bücher und den Kommentar des Eutocius. Wahrscheinlich hat zu diesem Zeitpunkt schon eine lateinische Übersetzung vorgelegen. ^[4]

Der erste Druck einer lateinischen Übersetzung von Giovanni Battista Memmo erschien 1537 in Venedig. Eine einflußreichere Ausgabe von Federigo Commandino, die auch im 17. Jahrhundert noch u.a. von Descartes benutzt wurde, erschien 1566 in Bologna. Eine weitere Übersetzungen von Francesco Maurolico von 1548 wurde erst 1654 gedruckt.

Im arabischen Raum gab es schon sehr viel früher Interesse diesem Werk. In Bagdad förderten die Abbasidenkalifen, besonders Al Mamun (813-833 n.Chr.) die Übersetzung griechischer Werke ins Arabische in der Forschungsstätte „Beit al Hikam“, dem Haus der Weisheit. Hier gelang es den Banu Musa, den drei mathematische gebildeten Brüdern Muhammad, Ahmad und Alhasan ibn Musa, eine griechische Handschrift der Bücher I-VII zur erhalten und diese mit der sorgfältigere Ausgabe des Eutocius zusammen, die nur die Bücher I-IV erhielt, von Thabit Ibn Qurra übersetzen zu lassen ^[5]. Das achte Buch blieb bis heute verschollen.

Im Westen blieben die Bücher V-VIII unbekannt. Erst 1629 gelang es dem dänischen Diplomaten Johann Golius, ein arabisches Manuskript der Übersetzung zu erwerben, das er jedoch bis zu seinem Tod 1667 nicht veröffentlichte. Nach dem Verkauf von Golius` Sammlung konnte der britische Astronom Edmund Halley das Manuskript erwerben und gab schließlich 1710 die Bücher V-VII in lateinischer Übersetzung heraus, zusammen mit dem griechischen Text der ersten vier Bücher und einer Rekonstruktion des achten.^[6] Weitere Übersetzungen in moderne Sprachen folgten.

Die historische Bedeutung des Textes hatte sich jedoch zwischen 1629 und 1710 grundlegend gewandelt. Im 17. Jahrhundert waren wichtige Werke zur Geometrie der Kegelschnitte erschienen, darunter Descartes` Geométrie (1637) und Newtons Principia Mathematica (1687). Beide waren wie auch Desarges und Fermat mit den ersten vier Bücher der Conica vertraut, und es gab auch Versuche, den zweiten Teil aus den Angaben von Pappus zu rekonstruieren. ^[7] Die Ergebnisse der inzwischen veröffentlichen Bücher hatten aber bis 1710 bewirkt, daß der Text von Apollonius nur mehr von historischem Interesse war ^[8]. Der geometrische Ansatz von Apollonius war durch die Einführung der kartesischen Koordinaten und die algebraischen Formulierung der Kegelschnitte abgelöst worden.

In der weiteren Betrachtung der Conica spielte dieser Gegensatz insofern eine Rolle, als z.B. die deutsche Übersetzung von Balsam sich nicht wörtlich an den Text von Apollonius hält, sondern eine Bearbeitung darstellt, in der die Proportionsaussagen durch Gleichungen ersetzt werden und wie diese umgeformt werden. Balsam begründet diese Vorgehen: „Die mathematischen Wahrheiten haben eine solche innere Kraft und Festigkeit, daß sie in der Tat der Beeinflussung durch die Sprache und die besondere Darstellungsform weniger unterworfen sind, als das in anderen Wissenschaften der Fall ist, woraus denn folgt, daß bei der Übertragung eines Autors aus einer Sprache in eine andere man sich größere Freiheiten erlauben darf, ohne den Inhalt wesentlich zu entstellen, als anderswo.“^[9] Fried/Unguru vertreten gerade die entgegengesetzte Position, daß nämlich der Inhalt sich von der mathematischen Form nicht trennen lasse und sich nur in seiner originalen Form historisch betrachtet werden kann. Sie wenden sich besonders gegen die geometrische Algebra, d.h. gegen die algebraische Interpretation des Textes von Apollonius, besonders durch von Zeuthen. ^[10]

Ihre Übersetzung der vierten Buches benutzt dem entsprechend auch keine formale Darstellung, sondern gibt den Text wörtlich wieder. ^[11]

Apollonius verfaßte neben seinem Hauptwerk über die Kegelschnitte weitere Schriften über geometrische Probleme, über deren Inhalte wir nur durch Pappos informiert sind. :

Von allen diesen Werken ist nur „Über das Abschneiden eines Verhältnisses“ in einer arabischen Version überliefert; alle anderen Werke sind verloren.

• Über das Abschneiden eines Verhältnisses behandelt folgendes Problem: Wenn zwei Geraden und ein Punkt auf jeder dieser Gerade gegeben ist, ist von einem (weiteren) gegebenen Punkt eine Gerade so zu ziehen, daß die Längen der Streckenabschnitte der beiden Geraden einem festen Verhältnis entsprechen.

• Über das Abscheiden einer Fläche behandelt ein analoges Problem, bei dem nicht das Verhältnis der Geradenabschnitte, sondern ihr Rechteck, also das Produkt ihrer Längen gegeben ist.

• Über den bestimmten Schnitt behandelt ebenfalls ein Konstruktionsproblem zu gegebenen Proportionen : hier soll zu vier Punkten A,B,C,D auf einer Gerade ein weiterer Punkt P auf derselben Gerade bestimmt werden, so daß (AP × CP) : (BP × DP) einem bestimmten Verhältnis entspricht.

• Über Berührungen beschäftigt sich mit dem [[Apollonisches Problem|Apollonischen Problem] d.h. mit der Konstruktion von Kreisen, die drei gegebene geometrische Figuren, die jeweils ein Kreis, eine Gerade oder ein Punkt sein können, berühren.

• Über ebene Geometrische Örter d.h. über Kreise und Geraden
• Über Neuseis also Einschubkonstruktionen. ^[12]

Weitere Werke, deren Inhalte nicht genau bekannt sind, werden von anderen antike und arabische Autoren erwähnt:^[13]

• Vergleichung von Dodekaeder und Ikosaeder
• Eine allgemeinen Abhandlung
• Über die Schraubenlinie
• Über ungeordnete Irrationalitäten
• Die schnelle Lieferung

Trotzdem hat es verschieden Versuche gegeben, den Inhalt der Werke nach den Angaben bei Pappos zu rekonstruieren unter anderem von Vieté und Fermat.

Apollonius war auch als Astronom bekannt, auch wenn er die ihm gelegentlich zugeschriebene Epizykeltheorie nicht entwickelt hat.[Neuer Pauly] Claudius Ptolemäus überliefert im Almagest zwei Sätze zur Epizykel- und Exzentertheorie. Der erste Satz besagt, wann ein Planet seine Bewegungsrichtung (scheinbar) ändert, d.h. wann er rückläufig wird, in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeiten des Planeten auf dem Epizykel und des Epizykels auf dem Differenten. Der zweite Satz macht eine analoge Aussage für ein Exentermodell. [van.der. Waerden S. 396].

Auch diese Sätze sind genaugenommen geometrische Aussagen, auch wenn hier zusätzlich die Bewegung eine Rolle spielt.

1. ↑ Pauly-Wissowa
2. ↑ Fried/Unguru S. 416
3. ↑ Vorrede zum IV. Buch, Balsam
4. ↑ Fried/Unguru S. 8
5. ↑ Fried/Unguru S. 7
6. ↑ Fried/Unguru S. 9
7. ↑ Der Neuer Pauly
8. ↑ Fried/Unguru S. 10
9. ↑ Balsam Vorrrede
10. ↑ Fried/Unguru S. 38 ff.
11. ↑ Fried/Unguru S. 413ff.
12. ↑ Van der Waerden S. 343-346
13. ↑ van der Waerden S. 395

• Apollonii Pergaei Conicorum libri quatuor, ex versione Frederici Commandini (Bononiae, 1566), fol.
• Isaak Barrow: Apollonii Conica : Methodo Nova Illustrata, & Succincte Demonstrata / Per Isaacum Barrow, Londin : Scott, 1675.
• Edmund Halley (Hrsg.) Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis de Sectione Cylindri et Coni libri duo (Oxoniae, 1710), fol. (erste westliche Ausgabe der Bücher V-VII).
• H. Balsam. Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte Berlin 1861.
• Arthur Czwalina (Übers.): Apollonios. Die Kegelschnitte. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1967
• Johan Ludvig Heiberg: [Opera] Apolonii Pergaei Quae graece exstant : cum commentariis antiquis / ed. et latine interpretatus est I. L. Heiberg, Leipzig, Teubner, 1891-93. (Kritische Ausgabe der griechischen Texts)
• [T. L. Heath:, Apollonius, Treatise on Conic Sections (Cambridge, 1896) (bekannteste englische Übersetzung)
• G. J. Toomer: Conics : books V to VII ; the Arabic translation of the lost Greek original in the version of the Banū Mūsā, Berlin, New York [u.a.] : Springer, 1990. (moderne Übersetzung der Bücher V-VII aus dem Arabischen)

• Michael N. Fried; Sabatai Unguru: Apollonius of Perga`s Conica: Text, Context, Subtext, Leiden, Boston, Köln 2001.
• Pauly-Wissowa Bd. 2, 1895, Sp. 151-160 s.v. Apollonios 112.
• Der neue Pauly Bd. 1, 1996, Sp. 885-887 s.v. Apollonios 13.
• B. L. Van der Waerden: Erwachende Wissenschaften: Ägyptischen, Babylonische und Griechische Mathematik, Basel, Stuttgart 1956.
• Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient\Mathematik im Abendland (Doppelausgabe), Wiesbaden 1996.
• Zeuthen, H.G., Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Copenhagen, 1886/ 1902) Online: University of Michigan Historical Math Collection

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Kategorie:Mann Kategorie:Grieche (Antike) Kategorie:Mathematiker der Antike Kategorie:Geboren 262 v. Chr. Kategorie:Gestorben 190 v. Chr.