Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist in der Mathematik eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets den gleichen Abstand haben. Ein Beispiel ist die Folge der ungeraden Zahlen $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots$ , bei der alle benachbarten Glieder den Abstand 2 haben. Die Summierung der Folgenglieder einer arithmetischen Folge ergibt eine arithmetische Reihe.

Definition

Eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)$ heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d. h. stets ein und derselben Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit $d$ bezeichnet, so bedeutet dies, dass für jeden Folgenindex $n$ gilt:^[1]

a_{n+1}-a_{n}=d.

Berechnung

Durch Umstellen der Definitionsgleichung erhält man

a_{n+1}=a_{n}+d

.

Bei einer arithmetischen Folge entsteht das jeweils nächste Folgenglied also aus dem vorhergehenden Folgenglied durch Addition der konstanten Differenz $d$ . Dieser Zusammenhang liefert eine Rekursionsvorschrift zur Berechnung aller Folgenglieder. Alternativ lässt sich jedes Folgenglied auch direkt berechnen. Zur Herleitung einer entsprechenden Formel benutzt man die Rekursionsvorschrift und setzt die Zwischenergebnisse ein:

{\begin{aligned}a_{2}&=a_{1}+d\\a_{3}&=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d\\a_{4}&=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d\\&\vdots \end{aligned}}

Allgemein erhält man für das $n$ -te Glied $a_{n}$ die Formel

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

.

Wird das Anfangsglied mit $a_{0}$ bezeichnet, so ist $a_{n}$ das $(n+1)$ -te Glied der Folge und die Formel lautet dementsprechend

a_{n}=a_{0}+n\cdot d

.

Beispiele

Folge der natürlichen Zahlen

Die Folge der natürlichen Zahlen ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied $a_{1}=1$ (bzw. $a_{1}=1$ , wenn man die Null zu den natürlichen Zahlen zählt) und $d=1$ .

Multiplikationsreihen

Die Multiplikationsreihen des Einmaleins („Einerreihe“, „Zweierreihe“, „Dreierreihe“ etc.) sind arithmetische Folgen. Bei der Sechserreihe $6,12,18,24,30,\ldots$ zum Beispiel ist $a_{1}=6$ und $d=6$ . Das $n$ -te Glied der Sechserreihe ist das $n$ -fache von 6: $a_{n}=6n$ .

Konstante Folgen

Jede konstante Folge $a,a,a,\ldots$ ist eine arithmetische Folge mit $a_{0}=a$ und $d=0$ .

Folge mit vorgegebenem Anfangswert und Gliederabstand

Die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=25$ und der Differenz $d=-3/2$ lautet $25,\ 23{\tfrac {1}{2}},\ 22,\ 20{\tfrac {1}{2}}{},\ 19,\ 17{\tfrac {1}{2}},\ 16,\ 14{\tfrac {1}{2}},\ 13,\dots$ Mithilfe der geschlossenen Formel lässt sich jedes Glied direkt berechnen, zum Beispiel das Glied $a_{6}$ als

a_{6}=a_{0}+6\cdot d=25+6\cdot (-3/2)=16

.

Namensherkunft

Die Bezeichnung „arithmetische Folge“ leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab. Jedes Glied einer arithmetischen Folge $a_{i}$ mit $i>0$ ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder.^[2]^[3] Dies kann man unter Zuhilfenahme der Beziehung $a_{i}=a_{i-1}+d$ bzw. $a_{i-1}=a_{i}-d$ zeigen:

{\frac {a_{i+1}+a_{i-1}}{2}}={\frac {\overbrace {a_{i}+d} ^{=a_{i+1}}+\overbrace {a_{i}-d} ^{=a_{i-1}}}{2}}={\frac {2a_{i}}{2}}=a_{i}

.

Differenzenfolge

Die Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge.

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant: für jedes $i>0\$ gilt: $a_{i+1}-a_{i}=d\$ .

Ungerade Zahlen

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge, die nur aus Zweien besteht:

1\

3\

5\

7\

9\

11\

13\

...\

2\

2\

2\

2\

2\

2\

...\

Primzahlfolge

Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210:^[4]

199\

409\

619\

829\

1039\

1249\

1459\

1669\

1879\

2089\

210\

210\

210\

210\

210\

210\

210\

210\

210\

Die Folge endet nach 10 Gliedern (AP-10). Die Differenz selbst ist ein Primorial (210 = 2·3·5·7). Terence Tao und Ben Green bewiesen, dass es beliebig lange derartige arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss (Satz von Green-Tao).^[5] Die längste bisher bekannte Folge wurde 2019 gefunden und besteht aus 27 Elementen (AP-27).^[6]

Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

Berechnung

Formeln zur Berechnung von Partialsummen arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung:

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:

$\sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$ .

Dabei bezeichnet $B_{k}$ die $k$ -te Bernoulli-Zahl.

Quadratzahlen

Folge:

0\

1\

4\

9\

16\

25\

36\

49\

...\

1. Differenzenfolge:

1\

3\

5\

7\

9\

11\

13\

...\

2. Differenzenfolge:

2\

2\

2\

2\

2\

2\

...\

Bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Tetraederzahlen

Folge:

0\

1\

4\

10\

20\

35\

56\

84\

...\

1. Differenzenfolge:

1\

3\

6\

10\

15\

21\

28\

...\

2. Differenzenfolge:

2\

3\

4\

5\

6\

7\

...\

3. Differenzenfolge:

1\

1\

1\

1\

1\

...\

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)

.

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist auch die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Siehe auch

Geometrische Folge

Einzelnachweise

↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 96.
↑ Reinhold Pfeiffer: Grundlagen der Finanzmathematik: mit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, arithmetischen und geometrischen Folgen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-87946-2, S. 77.
↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 197.
↑ Eric W. Weisstein: Prime Arithmetic Progression. In: MathWorld (englisch).
↑ Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.
↑ Primes in Arithmetic Progression Records. Jens Kruse Andersen, abgerufen am 5. Januar 2021 (englisch).

[1] Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 96.

[2] Reinhold Pfeiffer: Grundlagen der Finanzmathematik: mit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, arithmetischen und geometrischen Folgen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-87946-2, S. 77.

[3] Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 197.

[4] Eric W. Weisstein: Prime Arithmetic Progression. In: MathWorld (englisch).

[5] Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.

[6] Primes in Arithmetic Progression Records. Jens Kruse Andersen, abgerufen am 5. Januar 2021 (englisch).

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Land Mecklenburg-Vorpommern

Arithmetische Folge

Inhaltsverzeichnis

Definition

Berechnung