Weyl-Kammer

In der Mathematik ist die Weyl-Kammer (benannt nach Hermann Weyl) ein Begriff aus der Theorie der Lie-Gruppen. Weyl-Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benötigt, außerdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebäude.

Definition

Sei eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra, eine Cartan-Unteralgebra und das zugehörige Wurzelsystem.

Für eine Wurzel bezeichne

die zugehörige Hyperebene in .

Dann heißen die Zusammenhangskomponenten von

die Weyl-Kammern des Wurzelsystems.

Wirkung der Weyl-Gruppe

Die Weyl-Gruppe von wirkt auf und permutiert die Menge der Weyl-Kammern, d. h., die Wirkung der Weyl-Gruppe auf der Menge der Weyl-Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl-Kammern ist die Kardinalität der Weyl-Gruppe.

Der Abschluss einer Weyl-Kammer ist ein Fundamentalbereich für die Wirkung der Weyl-Gruppe auf .

Weyl-Kammern in symmetrischen Räumen

Es sei ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Dann sind alle enthaltenden Flachs von der Form

für eine abelsche Unteralgebra . (Hier ist die Exponentialabbildung in und die Cartan-Zerlegung.)

Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen: Weyl-Kammern in sind (per Definition) die Bilder der Weyl-Kammern in unter der Exponentialabbildung.

Beispiel

Wurzelsystem A2

Es sei

und

.

Das zugehörige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln

,

entsprechend

.

Die sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum , sie zerlegen in sechs Weyl-Kammern.

Die Weyl-Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe , sie permutiert die sechs Weyl-Kammern.

Literatur

  • Armand Borel: Linear algebraic groups. W. A. Benjamin, New York / Amsterdam 1969
  • Alexander Kirillov Jr.: An introduction to Lie groups and Lie algebras. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113. Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-88969-8
  • Ira Gessel, Doron Zeilberger: Random walk in a Weyl chamber. JSTOR:2159560