Kubische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine kubische Primzahl der 1. Art (vom englischen cuban prime) eine Primzahl, die folgende Form hat:[1]

mit ganzzahligen und .

Diese Art von kubischen Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1912 von Allan Joseph Champneys Cunningham im Artikel On quasi-Mersennian numbers erforscht.[2]

Eine kubische Primzahl der 2. Art hat die folgende Form:[1]

mit ganzzahligen und .

Diese Art von kubischen Primzahlen wurden ebenfalls erstmals von A. J. C. Cunningham im Jahr 1923 im Artikel Binomial Factorisations erforscht.

Der englische Name cuban prime kommt von Kubikzahl, nicht von Kuba.

Eigenschaften

  • Jede kubische Primzahl der 1. Art kann man in folgende Formen umwandeln:
Beweis der 1. Form:
Eine kubische Primzahl der 1. Art hat die Form mit . Somit gilt:
.
Beweis der 2. Form:
Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form . Somit gilt:
.
Beweis der 3. Form:
Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form mit (also mit ). Somit gilt:
.
Beweis:
Eine kubische Primzahl der 1. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form . Zentrierte Sechseckzahlen haben die Form .
  • Jede kubische Primzahl der 2. Art kann man in folgende Formen umwandeln:
  • mit ,
Beweis der 1. Form:
Eine kubische Primzahl der 2. Art hat die Form mit . Somit gilt:
.
Beweis der 2. Form:
Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form . Somit gilt:
.
Beweis der 3. Form:
Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form mit (also mit ). Somit gilt:
.
Beweis der 4. Form:
Eine kubische Primzahl der 2. Art hat, wie oben gezeigt wurde, die Form . Substituiert man , so erhält man:
.

Beispiele

  • Die Primzahl kann man darstellen als und ist somit eine kubische Primzahl der 1. Art.
  • Die kleinsten kubischen Primzahlen der 1. Art lauten:
7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, … (Folge A002407 in OEIS)
  • Stellt man die kubischen Primzahlen der 1. Art in der Form dar, so sind die ersten die folgenden:
2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 49, 50, 53, 56, 59, 63, 64, 67, 68, 75, 81, 82, 87, 89, 91, 92, 94, 96, 106, 109, 120, 124, 126, 129, 130, 137, 141, 143, 148, 154, 157, 158, 159, 165, 166, 171, 172, … (Folge A002504 in OEIS)
Beispiel:
Entnimmt man dieser Liste an der 30. Stelle die Zahl , so erhält man , und tatsächlich ist die 30. kubische Primzahl der 1. Art, wie man der vorherigen Liste entnehmen kann.
  • Die Anzahl der kubischen Primzahlen der 1. Art, welche kleiner als sind, kann man der folgenden Liste für ablesen:
0, 1, 4, 11, 28, 64, 173, 438, 1200, 3325, 9289, 26494, 76483, 221530, 645685, 1895983, 5593440, 16578830, 49347768, 147402214, 441641536, 1326941536, 3996900895, 12066234206, 36501753353, … (Folge A113478 in OEIS)
Beispiel:
Der obigen Liste kann man an der 5. Stelle die Zahl entnehmen. Das heißt, dass kubische Primzahlen der 1. Art kleiner als sind.
  • Die momentan größte bekannte kubische Primzahl der 1. Art ist die folgende:[3]
Sie hat Stellen und wurde am 7. Januar 2006 von Jens Kruse Andersen entdeckt.
  • Die kleinsten kubischen Primzahlen der 2. Art lauten:
13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249, 129793, 139969, … (Folge A002648 in OEIS)

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte kubische Primzahl hat die folgende Form:

mit ganzzahligen

Eigenschaften

  • Jede verallgemeinerte kubische Primzahl kann man in folgende Formen umwandeln:
  • mit ganzzahligen
  • mit und

Mit anderen Worten:

Beweis der 1. Form:
Wegen der Formel (siehe hier) gilt:
Man kann umformen in .
Beweis der 2. Form:[4]
Sei mit und . Dann ist . Rechnet man alle Varianten für und durch, erhält man die vier Restklassen . Somit kann die Darstellungen oder annehmen. Die Darstellungen und sind immer zusammengesetzt und die Darstellung ist ebenfalls bis auf zusammengesetzt. Somit bleibt nur noch die Darstellung übrig.

Beispiele

  • Die kleinsten verallgemeinerten kubischen Primzahlen der Form lauten:
3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 409, 421, 433, 439, 457, 463, 487, 499, 523, 541, 547, 571, 577, 601, 607, 613, … (Folge A007645 in OEIS)
Die Primzahl gehört aber genau genommen nicht zu obiger Definition von verallgemeinerten kubischen Primzahlen, weil man nur mit erhalten kann und somit die ursprüngliche Voraussetzung nicht erfüllt ist. Für alle anderen Zahlen mit wäre und somit keine Primzahl.

Einzelnachweise

  1. a b Cuban prime. In: PlanetMath. (englisch)
  2. Allan J. C. Cunningham: On quasi-Mersennian numbers. Messenger of Mathematics 41, 1912, S. 144, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).
  3. 3 • 1000008458192 + 3 • 1000008454096 + 1 auf Prime Pages
  4. Umesh P. Nair: Elementary results on the binary quadratic form a^2+ab+b^2, Theorem 10. S. 4, abgerufen am 7. Juli 2018.

Quellen

  • A. J. C. Cunningham: On Quasi-Mersennian Numbers. In: Messenger of Mathematics. Band 41. England 1912, S. 119–146.
  • A. J. C. Cunningham: Binomial Factorisations. London 1923.