Halbring (algebraische Struktur)

Halbring

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

  • Links-Halbring

umfasst als Spezialfälle

Ein Halbring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr eine kommutative Gruppe, sondern nur noch eine kommutative Halbgruppe sein muss.

Halbringe werden ebenso mit nicht-kommutativer Addition sowie mit (absorbierender) und/oder definiert, die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich.

Definitionen

Halbring

Ein Halbring (engl.: Semiring) ist eine algebraische Struktur mit einer (nichtleeren) Menge und mit zwei zweistelligen Verknüpfungen (Addition) und (Multiplikation), für die gilt:

  1. ist eine kommutative Halbgruppe.
  2. ist eine Halbgruppe.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle gilt
  sowie   [1]

Ist auch kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Halbring.

Nullelement

Besitzt ein Halbring ein neutrales Element bezüglich der Addition, d. h.

für alle

so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes.

Die Null eines Halbringes heißt absorbierend (bezüglich der Multiplikation), falls

für alle

Ein Halbring mit einer absorbierenden Null heißt auch Hemiring.[2]

Einselement

Wenn ein Halbring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation enthält, also

für alle

dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes.

Ein Hemiring mit einer Eins heißt auch Bewertungshalbring.[3]

Dioid

Ein Hemiring mit Eins und idempotenter Addition wird als Dioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind und u. a. Monoide.

Beispiele

  • ;
  • ist sogar ein Halbkörper.
  • , die sogenannte Min-Plus-Algebra;
  • Für jede Menge ist die Potenzmenge ein Halbring.
  • Allgemeiner ist jede Boolesche Algebra ein Halbring.
  • Ist ein Halbring mit 0 und 1, so bildet die Menge aller -Matrizen mit Einträgen aus zusammen mit den naheliegenden Operationen darauf für Addition und Multiplikation einen Halbring mit 0 und 1.

Literatur

Anmerkungen und Einzelnachweise

  1. Man sagt auch: distribuiert über .
  2. D. R. La Torre: On h-ideals and k-ideals in hemirings. Publ. Math. Debrecen 12, 219–226 (1965) [1] [2].
  3. Hebisch, Weinert; S. 257