In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei eine -Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren , dann gilt mit der Euklidischen Norm

Mit der QR-Zerlegung der Matrix gilt nämlich

wobei ist.

Geometrische Anschauung

Ist eine -Matrix mit reellen Einträgen, so ist das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren aufgespannten -dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen des -dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen .

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und eine -Matrix über mit den Zeilenvektoren . Dann gilt

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

• Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen die schärfere Abschätzung.
• Liegt ein Ring mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen ), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur

• Roger A. Horn: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 477 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).