In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Sei ein Ring, ein Unterring derart, dass ein freier -Modul vom Rang ist. Für heißt die Diskriminante von .

Wenn eine -Basis von darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von in erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit bezeichnet und heißt Diskriminante von über .

• Sei eine separable Körpererweiterung vom Grad und die verschiedenen -Algebrenmonomorphismen von in den algebraischen Abschluss von . Dann gilt für eine -Basis von ^[1]:

• Seien zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen . Dann gilt für ein Primideal das folgende: ist genau dann verzweigt, wenn gilt^[2]. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von , vgl. Dedekindring).

Seien ; bezeichne die Äquivalenzklasse von in .

Somit , was der Diskriminante des Polynoms entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

Sei K ein Zahlkörper und O_K sein Ganzheitsring. Sei b₁, ..., b_n eine Basis von O_K als Z-Modul, und seien {σ₁, ..., σ_n} die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n-mal-n-Matrix B deren (i,j)-Eintrag σ_i(b_j) ist.^[3]

• Diskriminante

• Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.

1. ↑ Neukirch: Satz. I.2.8
2. ↑ Neukirch: Thm. III.2.6
3. ↑ Neukirch: §I.2, nach Kor. I.2.7 und Bem. nach Satz I.2.11