Moore-Raum
In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.
Definition
Für eine abelsche Gruppe und eine natürliche Zahl ist ein CW-Komplex , der für zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen
erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird dager mit bezeichnet.[1] Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.
Lemmata
- Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt.[2] Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum .
- Das unendliche symmetrische Produkt eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der -ten Homotopiegruppe genau die -te (integrale) Homologiegruppe ist (Satz von Dold-Thom).[3] Für eine Gruppe und ist der Eilenberg–MacLane-Raum .
- Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar -zusammenhängend mit .
Beispiele
- Die -Sphäre ist der Moore-Raum für .
- Die reelle projektive Ebene ist der Moore-Raum . Ihre -fache Einhängung ist daher der Moore-Raum .
Siehe auch
- Homologiesphäre, ein spezieller Moore-Raum.
- Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
- Peterson-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Kohomologie.
Literatur
- Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.
Einzelnachweise
- ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Chapter 4, Example 4.34
- ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 2.2., Exercise 32
- ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 4.K., Exercise 4K.6
