Satz von Tamano

Der Satz von Tamano ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, der auf den japanischen Mathematiker Hisahiro Tamano zurückgeht.[1][2][3][4] Er charakterisiert die Parakompaktheit topologischer Räume mittels der Konzepte von Normalität und Kompaktheit unter Einbeziehung der Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Formulierung des Satzes

Für jeden Hausdorff-Raum sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

  1. ist parakompakt.
  2. ist vollständig regulär und das topologische Produkt von mit seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung ist normal.
  3. Das topologische Produkt von mit jedem beliebigen kompakten Hausdorff-Raum ist normal.

Korollar

Für jeden parakompakten Hausdorff-Raum und jeden kompakten Hausdorff-Raum ist das topologische Produkt ein parakompakter Hausdorff-Raum.[5][6][7]

Dies folgt sofort mit (3) und dem Satz von Tychonoff. Dieses Korollar wiederum zieht seinerseits das folgende Resultat nach sich:

Für jeden Hausdorff-Raum sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

  1. ist normal für jeden parakompakten Hausdorff-Raum .
  2. ist parakompakt für jeden parakompakten Hausdorff-Raum .[8]

Literatur

Artikel

  • Hisahiro Tamano: On Paracompactness. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 10, Nr. 3, 1960, S. 1043–1047, doi:10.2140/pjm.1960.10.1043.

Monografien

  • Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With emphasis on problems from the theory of coverings, zero dimensionality and cardinal invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
  • Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise

  1. Tamano: On Paracompactness. 1960, S. 1043–1047.
  2. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 161.
  3. Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 237.
  4. Willard: General Topology. 1970, S. 154.
  5. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 148.
  6. Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 223.
  7. Schubert: Topologie. 1975, S. 85.
  8. Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 163.