Regulator (Zahlentheorie)

Der Regulator bezeichnet in der Zahlentheorie eine Größe, die Auskunft über die Einheiten eines algebraischen Zahlkörpers gibt. Jedem Zahlkörper ist ein solcher Regulator zugeordnet.

Definition

Sei ein algebraischer Zahlkörper mit Erweiterungsgrad . Sei die Anzahl der reellen Einbettungen von und die Anzahl der komplexen Einbettungen, es gilt also . Dann ist der freie Teil der Einheitengruppe des ganzen Abschlusses von in nach dem dirichletschen Einheitensatz isomorph zu . Bildet man die Einheitengruppe über

in den ab, wobei die reellen Einbettungen und die komplexen Einbettungen sind, so ist das Bild ein -dimensionales Gitter des Volumens . Der Regulator ist nun definiert als

Er stellt eine wichtige Größe des Zahlkörpers dar und taucht zum Beispiel in der Klassenzahlformel wieder auf.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen dieses Begriffs sind unter anderem der Borel-Regulator und der Beilinson-Regulator. Zur Abgrenzung von diesen wird der in diesem Artikel beschriebene Spezialfall auch als Dirichletscher Regulator bezeichnet.

Literatur

  • S. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 1966.