Kronecker-Symbol

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols auf beliebige ganzzahlige . Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt[1] und wird daher nach ihm benannt.

Definition

Es sei eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

wobei eine Einheit ist (d. h. ) und die Primzahlen bezeichnen. Ist eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol definiert durch

Für ungerade ist die Zahl einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall ist getrennt zu betrachten. Wir definieren durch

Der Faktor in der Definitionsgleichung ist für gleich (Jacobi-Symbol). Für definiert man

Schließlich setzt man noch

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise und .

Für ungerades stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Eigenschaften

Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

  • falls , sonst .
  • außer wenn gilt und eine der Zahlen gleich 0 ist und die andere negativ.
  • , außer wenn gilt und eine der Zahlen gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu besitzt.
  • Für gilt wenn Wenn und das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für .
  • Für , gilt , wenn

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades das Kronecker-Symbol Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo ist.

Quadratische Reziprozität

Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl bezeichne den ungeraden Anteil: mit ungeradem (für wird gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen :

Dabei gilt das Pluszeichen von , falls oder zutrifft, und das Minuszeichen, falls und .

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen richtig ist:

Für eine beliebige ganze Zahl sei . Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

für beliebige ganze Zahlen (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl gilt

für eine beliebige ungerade ganze Zahl

Einzelnachweise

  1. Leopold Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Functionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1885, S. 770