Halbeinfache algebraische Gruppe
In der Mathematik sind halbeinfache algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.
Definition
Eine zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper heißt halbeinfach, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- der maximale zusammenhängende auflösbare Normalteiler ist
- hat keinen nichttrivialen zusammenhängenden abelschen Normalteiler.
Beispiele
- Die spezielle lineare Gruppe ist halbeinfach.
- Die projektive lineare Gruppe ist halbeinfach.
- Die symplektische Gruppe ist halbeinfach.
- Nicht halbeinfach sind die allgemeine lineare Gruppe, die multiplikative Gruppe und die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.
Halbeinfache Lie-Gruppen
Für eine halbeinfache algebraische Gruppe über ist eine halbeinfache Lie-Gruppe.
Nicht jede halbeinfache Lie-Gruppe ist eine halbeinfache algebraische Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von .
Klassifikation
Die Klassifikation halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist analog zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen durch Dynkin-Diagramme.
Literatur
- J.E. Humphreys, „Linear algebraic groups“, Springer (1975)
- T.A. Springer, „Linear algebraic groups“, Birkhäuser (1981)
Weblinks
- Semi-simple algebraic group (Encyclopedia of Mathematics)
