Pivotalgorithmus nennt sich jeder Algorithmus zur Aufgabenlösung der Linearen Optimierung, der dem im folgenden beschriebenen Pivotansatz folgt.

Wichtige Pivotverfahren sind die Simplexverfahren und die Criss-Cross-Verfahren. Während die bekannten Simplexverfahren alle eine überpolinomiale Laufzeit beanspruchen, sind Laufzeitschranken für die Criss-Cross-Verfahren ein noch offenes Forschungsthema.

Jedes System linearer Ungleichungen und jede Lineare Optimierungsaufgabe lässt sich in folgende Grundform bringen:

Diese Darstellung soll aussagen, dass eine Lösung in den Unbekannten gesucht wird, welche die obige Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen erfüllt und dabei die sogenannte Zielvariable so groß wie möglich wählt.

Falls nun die Optimumbedingungen und gelten, dann ist leicht einzusehen, dass die Werte für die unabhängigen Variablen mit den Werten für die sogenannten Basisvariablen eine Lösung der obigen Aufgabe bilden. Da nämlich unter anderem die unabhängigen Variablen keine negativen Werte annehmen dürfen, liefert jede andere zulässige Wertzuweisung dieser Variablen . In diesem Falle bilden die Basisvariablen eine sogenannte Optimalbasis des Systems.

Falls die Optimumbedingungen nicht erfüllt sind, was in der Regel der Fall sein wird, lässt sich das obige lineare Gleichungssystem aber auch andersartig ausdrücken, indem man eine andere Teilmenge der Unbekannten freilegt. Die neuen Koeffizienten des so abgewandelten Gleichungssytems lassen sich erneut auf die Eigenschaft und untersuchen, was wiederum unter Umständen zu einer Lösung der Aufgabe führt. Ein Standardergebnis der Linearen Optimierung sagt aus, dass für jede lösbare Aufgabe ein Satz Basisvariablen existiert, der zu einer Lösung führt.

Jeder nichtverschwindende Koeffizient des obigen Gleichungssytems nennt sich Pivotelement, und erlaubt es, die unabhängige Variable gegen die Basisvariable auszutauschen, um so weiter nach einer Lösung zu suchen. Das ist die Vorgehensweise eines allgemeinen Pivotverfahrens, wobei aber nicht irgendwelche Pivotelemente verwendet werden, sondern nur sogenannte zulässige Pivots, die folgendes erfüllen müssen: entweder gilt (a) gleichzeitig und , oder es gilt (b) gleichzeitig und . Die Regeln, nach denen in jedem Schritt eines dieser zulässigen Pivotelemente ausgewählt wird, hängen vom jeweiligen Verfahren ab; ein Mindestanspruch ist dabei natürlich, dass das Verfahren nach endlich vielen Schritten auf eine Optimalbasis stößt.