Quadratwurzel einer Matrix

Die Quadratwurzel einer Matrix oder Matrixwurzel ist ein Begriff aus der linearen Algebra und verallgemeinert das Konzept der Quadratwurzel einer reellen Zahl. Eine Quadratwurzel einer quadratischen Matrix ist eine Matrix, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangsmatrix ergibt. Für symmetrische positiv semidefinite Matrizen lässt sich eine eindeutige Quadratwurzel definieren. Im Allgemeinen muss allerdings weder eine Quadratwurzel existieren, noch muss sie, wenn sie existiert, eindeutig sein.

Quadratwurzel einer positiv semidefiniten Matrix

Definition

Für eine symmetrische positiv semidefinite Matrix heißt eine ebenfalls symmetrische positiv semidefinite Matrix Quadratwurzel oder kurz Wurzel von falls

gilt.[1] Die Quadratwurzel von ist dabei eindeutig bestimmt und wird mit bezeichnet.

Darstellung

Die Quadratwurzel von ergibt sich wie folgt. Nach dem Spektralsatz existiert eine orthogonale Matrix

mit paarweise orthonormalen Eigenvektoren von als Spalten und eine Diagonalmatrix

mit den diesen Eigenvektoren zugehörigen Eigenwerten auf der Diagonale, sodass

gilt. Die Quadratwurzel von ergibt sich dann zu

wobei die Diagonalmatrix

die Quadratwurzeln der Eigenwerte von auf der Diagonale hat.[1] Nachdem die Eigenwerte einer positiv semidefiniten Matrix stets reell und nichtnegativ sind, können deren Quadratwurzeln ebenfalls reell und nichtnegativ gewählt werden.

Beispiel

Die Matrix

hat die Eigenwerte und und bilden die zugehörige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Es gilt also

zusammengefasst zu

und somit

Eigenschaften

Das Quadrat der Matrix ist die Matrix

Die Matrix ist symmetrisch:

Die Matrix ist positiv semidefinit (verwendet wird die Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts):

für alle wobei gilt. Ist positiv definit, so ist auch positiv definit.

Quadratwurzeln beliebiger Matrizen

Definition

Als Wurzel einer quadratischen Matrix bezeichnet man jede Matrix die mit sich selbst multipliziert ergibt:

Man findet auch Quellen, in denen eine Wurzel von genannt wird, wenn gilt.

Für eine Wurzel von schreibt man auch Es ist in dieser Notation jedoch unklar, welche Wurzel gemeint ist, da mehrere existieren können.

Anzahl existierender Wurzeln

Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus einer Matrix im Allgemeinen nicht eindeutig. Ist etwa eine Wurzel aus dann auch

Anders als bei der Wurzel einer komplexen Zahl können Matrizen auch mehr als zwei Wurzeln haben.

So haben beispielsweise -Matrizen, deren charakteristisches Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, bis zu verschiedene Wurzeln.

Es gibt sogar Matrizen mit unendlich vielen Wurzeln. So besitzt etwa die Einheitsmatrix unter anderem für jede komplexe Zahl als Wurzel.

Weiterhin gibt es Matrizen, für die überhaupt keine Wurzel existiert: Ein Beispiel ist

Geometrische Interpretation von Wurzeln

Betrachtet man die Matrix als lineare Transformation, das heißt als eine Abbildung zwischen Vektorräumen, durch die einem Vektor ein Vektor zugeordnet wird, dann ist eine Wurzel eine Transformation, die man zweimal hintereinander ausführen muss, um in überzuführen.

Beispiel:

sei die zweidimensionale Rotationsmatrix mit dem Winkel

Dann ist jede zu einem Winkel mit einer ganzen Zahl gehörende Rotationsmatrix eine Wurzel von Für erreicht man mit der ersten Multiplikation eines Vektors mit eine Drehung um den halben Winkel und mit der zweiten Multiplikation noch einmal.

Berechnung einer Wurzel

Man kann Wurzeln einer Matrix der Größe leicht bestimmen, wenn eine Diagonalmatrix ist oder sich zumindest in eine Diagonalform überführen lässt (siehe Diagonalisierung).

Fall 1: Diagonalmatrix

Sind die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix paarweise verschieden, so können alle Wurzeln der Diagonalmatrix einfach bestimmt werden, indem von jedem Eintrag auf der Hauptdiagonale eine Wurzel bestimmt wird. Wenn man die Diagonaleinträge von wie üblich mit bezeichnet, erhält man damit als Wurzeln von die Matrizen

Für jedes der Diagonalelemente kann man das Vorzeichen beliebig wählen, sodass man paarweise verschiedene Wurzeln erhält, falls alle Diagonaleinträge von Null verschieden sind. Ist ein Diagonaleintrag Null, so erhält man entsprechend paarweise verschiedene Wurzeln. Da die Matrix auch negative Werte auf der Diagonalen besitzen kann, können die Wurzeln auch komplexe Zahlen beinhalten.

Es ist zu beachten, dass es noch weitere Wurzeln geben kann, wenn die Diagonaleinträge nicht paarweise verschieden sind. Diese sind dann jedoch keine Diagonalmatrizen. So hat etwa die Einheitsmatrix unendlich viele Wurzeln, wie bereits oben erklärt wurde. Diagonalmatrizen mit negativen Diagonaleinträgen können in diesem Fall auch reelle Wurzeln besitzen. Zum Beispiel gilt:

Fall 2: Diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix diagonalisierbar, so kann man auf folgende Weise Wurzeln von ermitteln:

Man bestimmt zunächst eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix , sodass gilt. Die Matrix hat dann als Spalten Eigenvektoren der Matrix und die Matrix als Diagonaleinträge die zugehörigen Eigenwerte.

Ist nun eine Wurzel von so ist eine Wurzel der Matrix , denn es gilt:

Da eine Diagonalmatrix ist, erhält man mögliche Wurzeln wie in Fall 1. Auch hierbei ist zu beachten, dass manche Eigenwerte der Diagonalmatrix negativ sein können, deren Wurzeln sind dann komplex. Falls die Matrix paarweise verschiedene Eigenwerte hat, erhält man auch wie in Fall 1 bzw. verschiedene Lösungen.

Fall 3: Nicht diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix nicht diagonalisierbar, lässt sich mit dem gezeigten Verfahren keine Wurzel berechnen. Dies bedeutet aber nicht, dass keine Wurzel besitzt: So ist beispielsweise die Scherungs-Matrix nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch die Wurzel

Falls wir beim Rechnen komplexe Zahlen zulassen, so ist jede Matrix auf jordansche Normalform transformierbar, auch wenn sie nicht diagonalisierbar ist.

Man bestimmt Matrizen ihre Inverse und mit wobei die folgende Blockdiagonalform hat:

Die sind Jordan-Blöcke der Form

Eine Wurzel aus berechnet sich gemäß

Die Wurzel aus ist aus jedem Jordan-Block einzeln zu ziehen.

Falls gilt, ist die Potenz eines Jordan-Blocks durch

gegeben mit wobei die -te Ableitung der Potenzfunktion ist. Explizit ergibt sich und wobei die Größe des Jordan-Blocks mit (in der Darstellung ), die Subdiagonalen mit ( ist die Diagonale) und die Gammafunktion mit bezeichnet sind. Für die Quadratwurzel ist zu setzen.

Für ergibt sich also beispielsweise

Falls und gleichzeitig gilt, existiert die Wurzel aus dem Jordan-Block nicht.

Außerhalb der Jordan-Blöcke stehen lauter Nullen.

Falls so hat die Zahl zwei Wurzeln, daher erhält man auf diese Weise für jeden Jordan-Block zwei verschiedene Wurzeln. So entstehen durch Kombination Wurzeln, wobei die Anzahl der Jordan-Blöcke bezeichnet.

Mit diesem Verfahren bekommt man im Allgemeinen nur einige und nicht alle Quadratwurzeln einer Matrix.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b Christian Kanzow: Numerik linearer Gleichungssysteme. Direkte und iterative Verfahren. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2005, S. 13–15.