Unter der Logik (griech. λογική [τέχνη] „die denkende [Kunst, Vorgehensweise]“) wird heute im Allgemeinen eine teils in der Philosophie, teils in der Mathematik und in der Informatik angesiedelte Theorie verstanden, die sich primär mit den Normen des korrekten (Schluss-)Folgerns beschäftigt.

Heute versteht man unter Logik überwiegend formale Logik (auch symbolische Logik oder mathematische Logik genannt), wie man sie zum Beispiel in der Aussagenlogik und in den formalen Systemen findet. Die philosophische Logik hatte jedoch nicht immer diese Struktur.

Verschiedene Bedeutungen von „Logik“

In der Geschichte der Philosophie ist die oben dargestellte Verwendungsweise des Ausdrucks „Logik“ erst seit Beginn des 20. Jahrhunderts üblich, obwohl dieser Begriff bereits von dem antiken Stoiker Zenon von Kition geprägt worden war. Zuvor wurde der Ausdruck vielfach (etwa bei Immanuel Kant, Georg Wilhelm Friedrich Hegel oder Karl Christian Friedrich Krause) sehr viel weiter im Sinne einer Erkenntnistheorie, Ontologie oder einer allgemeinen Dialektik verwendet. Die Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet, etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind in verschiedenen Disziplinen Wendungen wie Logik der Forschung, Logik der Dichtung u.ä. verbreitet, bei denen unter „Logik“ keine Theorie des Folgerns verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner „Gesetze“ oder Verfahrensweisen, die in einem bestimmten Bereich gelten.

Insbesondere in der Tradition der Ordinary Language Philosophy wurde unter einer „logischen“ Analyse vielfach eine Analyse begrifflicher Zusammenhänge verstanden.

In der Umgangssprache werden Ausdrücke wie „Logik“ oder „logisches Denken“ darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden und etwa einem „lateralen Denken“ gegenübergestellt. Ebenso gibt es den Begriff der „Frauenlogik“, „Männerlogik“, der „Affektlogik“ und den Begriff der „Alltagslogik“ - bekannt auch als „gesunder Menschenverstand“ (common sense) - in der Umgangssprache. In diesen Bereichen bezieht sich „Logik“ oft auf Formen des Handelns, der Pragmatik. Ein Argument wird umgangssprachlich als „logisch“ bezeichnet, wenn dieses stichhaltig, zwingend, überzeugend, einleuchtend und klar ist. In einem logischen Argument soll die Fertigkeit des Denkens und Begründens zum Ausdruck kommen.

Auch in gegenwärtigen Debatten ist weithin unbestritten, dass die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengentheorie, die Argumentationstheorie (die sich etwa unter pragmatischer Rücksicht mit Fehlschlüssen beschäftigt) und die Sprechakttheorie.

Geschichte der Logik

Antike

Als Begründer der Logik gilt der antike griechische Philosoph Aristoteles. Besonders zu nennen ist seine in der 1. Analytik ausgearbeitete Syllogistik, ein formales logisches System, in dem Argumente starrer Struktur, Syllogismen genannt, untersucht werden. Die Aussagen, die innerhalb von Syllogismen auftreten, setzen Begriffe zueinander in Beziehung (z. B. „Alles S ist P“, d. h. alles, was unter den Begriff S fällt, fällt auch unter den Begriff P). Logische Systeme, in deren Aussagen Begriffe zueinander in Beziehung gesetzt werden, heißen Begriffslogiken.

Gleichfalls auf Aristoteles zurück geht die (allerdings nicht in seiner Analytik, sondern in seiner Metaphysik entwickelte) Lehre von einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens. Hierzu zählen etwa der Satz vom Widerspruch und der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.

In verschiedenen anderen Werken (z.B. in De Interpretatione und der 2. Analytik) hat sich Aristoteles zudem mit zentralen sprachphilosophisch-logischen Termini wie Urteil und Begriff und mit allgemeinen Regeln des Beweisens und des Widerlegens beschäftigt.

Durch Arbeiten von Łukasiewicz ab 1923 und Mates ab 1949 weiß man, dass schon die Stoa eine voll ausgearbeitete Junktorenlogik hatte. Wegen der großen Autorität, die Aristoteles genoss, beachtete man die stoische Logik bis ins zwanzigste Jahrhundert nicht oder verstand sie zumindest nicht, weil man sie mit der Syllogistik nicht in Deckung bringen konnte.

Mittelalter

Eine weitere bedeutende Epoche für die Logik ist das Mittelalter. Im mittelalterlichen Universitätsbetrieb hat die Logik ihren Platz in der sogenannten „Artistenfakultät“ (facultas artium). Das Studium der artes ist Voraussetzung für das Studium an allen anderen Fakultäten. Ab etwa der Mitte des 13. Jahrhunderts umfasst der Unterrichtsstoff der Logik drei separate Textkorpora. Bei der logica vetus und der logica nova handelt es sich um überlieferte logische Schriften, insbesondere das Organon des Aristoteles und die Kommentare des Boëthius und des Porphyrius. Die parva logicalia kann man als Eigenschöpfung der mittelalterlichen Logik ansehen. Hier werden abseits der antiken Vorlagen eine ganze Reihe von neuen Problemstellungen aus dem Grenzbereich zwischen Logik und Semantik entwickelt und in voneinander unabhängigen Traktaten diskutiert. Einige gängige Traktattypen seien kurz vorgestellt:

• De proprietatibus terminorum befasst sich mit den Eigenschaften der materialen (nicht-logischen) Termini.
• De syncategorematicis untersucht dagegen die formalen, d.h. logischen Ausdrücke.
• De suppositio terminorum formuliert die mittelalterliche Suppositionstheorie
• Bei De consequentiis geht es um Folgerungen.
• De insolubilibus hat Paradoxien und Trugschlüsse zum Gegenstand.
• De Relativis befasst sich mit den Eigenschaften anaphorischer Ausdrücke.
• De Modalibus untersucht Modal-Ausdrücke.
• Bei De Obligationibus geht es um die logischen Bedingungen eines kohärenten Disputs.

Als bedeutende mittelalterliche Logiker können genannt werden: Petrus Abaelardus, Wilhelm von Ockham und Johannes Buridan.

Neuzeit

In der Neuzeit erlahmt zunächst das Interesse an der Logik. Weit verbreitet ist die Ansicht Immanuel Kants, dass das System der Logik mit der Aristotelischen Syllogistik zum Abschluss gekommen wäre, und dass es hier deshalb nichts weiter zu entdecken gäbe. Vielfach erschöpft sich daher die Behandlung des Gegenstandsbereich der Logik in der Vermittlung von Lehrbuchwissen. Ausnahmen sind beispielsweise Gottfried Wilhelm Leibniz oder Ploucquet.

Erst Mitte des neunzehnten Jahrhunderts findet die Logik wieder breitere Beachtung, zunächst vor allem in England. Richtungsweisend ist hier George Boole mit dem kürzeren Traktat „The Mathematical Analysis of Logic“ (1847) und seinem späteren Hauptwerk „Laws of Thought“ (1854). Booles Idee ist es, Logik als eine Mathematik aufzufassen, die auf die Werte 0 und 1 (wahr und falsch) beschränkt ist. Auf Klassensymbolen können so algebraische Operationen wie Addition, Multiplikation usw. ausgeführt werden. Auf diese Weise entwickelt Boole ein vollständiges System der einstelligen Prädikatenlogik, welches die Syllogistik als Subsystem enthält. Zeitgleich mit Boole veröffentlicht Augustus De Morgan sein Werk „Formal Logic“ 1847. De Morgan interessiert sich hier u.a. für eine Verallgemeinerung der Syllogistik auf Aussagen der Form „Die meisten A sind B“. Ein weiterer Logiker in England ist John Venn, der sein Buch „Symbolic Logic“ mit den berühmten Venn-Diagrammen 1881 veröffentlicht. An der logischen Forschung sind außerdem in Amerika Charles Sanders Peirce und in Deutschland Ernst Schröder beteiligt.

Der eigentliche Durchbruch zur modernen Logik gelingt jedoch Gottlob Frege, der wohl als der neben Aristoteles bedeutendste Logiker überhaupt angesehen werden muss. In seiner Begriffsschrift (1879) stellt er zum ersten Mal eine volle Prädikatenlogik zweiter Stufe vor. Außerdem entwickelt er hier die Idee einer formalen Sprache und darauf aufbauend die Idee des formalen Beweises, in dem nach Freges Worten nichts „dem Errathen überlassen“ bleibt. Gerade diese Ideen bilden eine ganz wesentliche theoretische Grundlage für die Entwicklung der modernen Computertechnik und Informatik. Freges Werk wird allerdings von seinen Zeitgenossen zunächst kaum wahrgenommen; dies mag u.a. an seiner sehr schwer zu lesenden logischen Notation liegen (siehe auch Begriffsschriftnotation). In den 1893 und 1903 erschienenen beiden Bänden der „Grundgesetze der Arithmetik“ versucht Frege die gesamte Mathematik in einer Art Mengentheorie zu axiomatisieren. Dieses System enthält jedoch einen Widerspruch (die sogenannte Russellsche Antinomie), wie Frege in einem berühmt gewordenen Brief von Bertrand Russell aus dem Jahr 1902 erfahren muss.

Russell selbst bleibt es vorbehalten, zusammen mit Alfred North Whitehead in den Principia Mathematica (1910) die erste widerspruchsfreie mengentheoretische Grundlegung der Mathematik vorzulegen. Die Autoren würdigen Frege im Vorwort, ihm verdankten sie das meiste in „logisch-analytischen Fragen“. Im Gegensatz zu Freges Werk wird die Principia Mathematica ein durchschlagender Erfolg. Einen Grund hierfür kann man u.a. in der von Russell/Whitehead verwendeten Notation sehen, die zu weiten Teilen heute noch üblich ist. Anstöße zu dieser Notation lieferte Giuseppe Peano, ein weiterer bedeutender Logiker des ausgehenden 19. Jahrhunderts, den Russell im Jahre 1900 bei einem Kongress kennen lernte. Neben seinen Gedanken zur logischen Notation ist Peano vor allem für seine Axiomatisierung der Zahlentheorie (die sogenannten Peano-Axiome) bekannt.

Moderne

Das aussagenlogische Fragment der „Principia Mathematica“ dient als Ausgangspunkt für die Entwicklung einer ganzen Reihe metalogischer Begriffe. In seiner Habilitationsschrift von 1918 zeigt Paul Bernays (aufbauend auf der Arbeit David Hilberts) Widerspruchsfreiheit, syntaktische und semantische Vollständigkeit und Entscheidbarkeit und untersucht die Unabhängigkeit der Axiome (wobei er feststellt, dass eines der Axiome tatsächlich abhängig, also überflüssig, ist).

Neben der axiomatischen Methode der „Principia“ werden weitere Kalkültypen entwickelt. 1934 präsentiert Gerhard Gentzen sein System des natürlichen Schließens und den Sequenzenkalkül. Hierauf aufbauend entwickelt Evert Willem Beth 1959 den Tableaukalkül. Wiederum an diesem orientiert sich Paul Lorenzen bei seiner Dialogischen Logik.

Die moderne Logik bringt außerdem die Entwicklung einer Semantik der Prädikatenlogik mit sich. Eine wichtige Vorarbeit hierzu stellt das berühmte Löwenheim-Skolem-Theorem dar (zuerst bewiesen von Leopold Löwenheim im Jahr 1915, ein allgemeineres Resultat zeigt Albert Thoralf Skolem 1920). Kurt Gödel beweist 1929 die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe (Gödelscher Vollständigkeitssatz), 1930 die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). 1933 formuliert Alfred Tarski eine Wahrheitstheorie für die Prädikatenlogik.

Weitere wichtige Ereignisse in der Geschichte der modernen Logik sind die Entwicklung der Intuitionistischen Logik, der Modallogik, des Lambda-Kalküls, der Typentheorie sowie der Stufenlogik (Logik höherer Stufe). Ein wichtiger Trend in der modernen Logik ist auch die Entwicklung von Theorembeweisern sowie die Anwendung von Logik in der Informatik durch Formale Methoden.

Teilgebiete

Klassische Logik

Hauptartikel: Klassische Logik

Von klassischer Logik bzw. von einem klassischen logischen System spricht man genau dann, wenn folgende semantische Bedingungen erfüllt sind:

1. Jede Aussage hat genau einen von genau zwei Wahrheitswerten, die meist als wahr und falsch bezeichnet werden. (Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip)
2. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen und die Art, wie diese zusammengesetzt sind, bestimmt. (Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität).

Der Begriff klassische Logik ist mehr im Sinn von etablierter, grundlegender Logik zu verstehen, auf die nichtklassische Logiken aufbauen, denn als historischer Verweis; vielmehr war es so, dass bereits Aristoteles, sozusagen der klassische Vertreter der Logik, sich sehr wohl mit mehrwertiger Logik, also nichtklassischer Logik beschäftigt hat.

Die wichtigsten Teilgebiete der formalen klassischen Logik sind die klassische Aussagenlogik, Prädikatenlogik der ersten Stufe und höherer Stufe sowie Stufenlogik. In der Aussagenlogik werden Aussagen daraufhin untersucht, ob sie ihrerseits wieder aus Aussagen zusammengesetzt sind, die durch Junktoren (z.B. „und“, „oder“) miteinander verbunden sind. Besteht eine Aussage nicht aus durch Junktoren verbundene Teilaussagen, dann ist sie aus Sicht der Aussagenlogik atomar, d.h. nicht weiter zerlegbar.

In der Prädikatenlogik lässt sich auch die innere Struktur von Sätzen darstellen, die aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind. Der Unterschied zwischen Prädikatenlogik der ersten Stufe und Prädikatenlogik höherer Stufe besteht darin, worüber mittels der Quantoren („alle“, „mindestens ein“) quantifiziert wird: In der Prädikatenlogik erster Stufe wird nur über Individuen quantifiziert (z.B. „Alle Schweine sind rosa“), in der Prädikatenlogik höherer Stufe wird auch über Prädikate selbst quantifiziert („Es gibt ein Prädikat, das auf Sokrates zutrifft“).

Formal bedarf die Prädikatenlogik einer Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren. Diese wird in der Stufenlogik, einer Form des typisierten Lambda-Kalküls, überwunden. Dadurch wird zum Beispiel die mathematische Induktion eine gewöhnliche, ableitbare Formel.

Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Ein Grundbegriff der Syllogistik ist der Begriff „Begriff“; er wird dort nicht weiter zerlegt. In der Prädikatenlogik werden Begriffe als einstellige Prädikate ausgedrückt; mit mehrstelligen Prädikaten lässt sich zusätzlich die innere Struktur von Begriffen analysieren und damit die Gültigkeit von Argumenten zeigen, die syllogistisch nicht fassbar sind. Ein häufig zitiertes Beispiel ist das Argument „Alle Pferde sind Tiere. Also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe,“ das sich trotz seiner intuitiven Eingängigkeit erst mit der Entwicklung der Prädikatenlogik herleiten ließ.

Es ist technisch möglich, die formale Syllogistik des Aristoteles so zu erweitern und zu verändern, dass der Prädikatenlogik gleichmächtige Kalküle entstehen. Solche Unternehmungen sind vor allem von philosophischer Seite her vorgenommen worden und sind philosophisch motiviert, zum Beispiel aus dem Wunsch heraus, auch rein formal Begriffe als elementare Bestandteile von Aussagen ansehen zu können und sie nicht prädikatenlogisch zerlegen zu müssen. Mehr zu solchen Kalkülen und den philosophischen Hintergründen findet sich im Artikel zur Begriffslogik.

Kalkültypen und logische Verfahren

Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (semantisch gültige Aussagen heißen Tautologien, syntaktisch gültige Aussagen Theoreme) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.

Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:

• Wahrheitstabellen

Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind drei Varianten gebräuchlich:

• Resolution,
• Semantische Bäume und
• Beth-Tableaux (nach: Evert Willem Beth)

Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:

• Axiomatische Logikkalküle
• Systeme natürlichen Schließens
• Sequenzenkalküle
• Dialogische Logiken

Nichtklassische Logiken

Von nichtklassischer Logik bzw. einem nichtklassischen logischen System spricht man, wenn mindestens eines der beiden oben genannten klassischen Prinzipien (Zweiwertigkeit und/oder Extensionalität) aufgegeben wird. Wird das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben, entsteht mehrwertige Logik. Wird das Prinzip der Extensionalität aufgegeben, entsteht intensionale Logik. Intensional sind zum Beispiel die Modallogik und die intuitionistische Logik. Werden beide Prinzipien aufgegeben, entsteht mehrwertige intensionale Logik.

Philosophische Logiken

Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik kann einerseits modifiziert werden, indem man die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichert. So beschäftigt sich die Modallogik mit Ausdrücken wie „notwendig“ oder „möglich“; die deontische Logik mit „geboten“ oder „erlaubt“; die epistemische Logik mit „wissen“ und „glauben“. Diese Logiken werden häufig als philosophische Logiken bezeichnet.

Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik

Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die auf bestimmte Axiome der klassischen Logik verzichten. Die im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind „schwächer“ als die klassische Logik, d.h. in diesen Logiken sind weniger Argumente gültig als in der klassischen Logik, es sind aber alle dort gültigen Argumente auch klassisch gültig.

Hierzu gehören die von L. E. J. Brouwer entwickelte Intuitionistische Logik, welche das „duplex-negatio“-Axiom (aus der doppelten Negation einer Aussage p folgt p)

(DN)

nicht enthält, woraufhin der Satz „tertium non datur“ (für jede Aussage p gilt: p oder nicht-p),

(TND)

nicht mehr ableitbar ist, der Minimalkalkül I. Johanssons, womit der Satz „ex falso quodlibet“ (aus einem Widerspruch folgt eine beliebige Aussage),

(EFQ)

nicht mehr abgeleitet werden kann, sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken, in welchen nur solche Implikationen gültig sind, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist. In der Dialogischen Logik und in den Sequenzenkalkülen sind sowohl die Klassischen als auch die nicht-klassischen Logiken durch entsprechende Zusatzregeln ineinander überführbar.

Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch nicht gültig sind. So gilt etwa in einer konnexen Logik - ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibilität keine klassische Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen wurde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.

• Connexive Logic. Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3

Wikisource: Logik – Quellen und Volltexte

Wiktionary: Logik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Logik – Zitate

Wikibooks: Mathematik: Logik – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Logik – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Logik – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien