In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form mit ganzzahligen und .

Beispiele

• Die Zahl ist eine quartische Primzahl.
• Die Zahl ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

Sie hat Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.^[1][2]

Eigenschaften

• Sei mit eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:^[3]

mit

Mit anderen Worten:

• Sei mit eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn ungerade ist, muss gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl als auch sind gerade. Dann wäre auch und gerade und somit wäre auch als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl als auch sind ungerade. Dann wäre auch und ungerade und somit wäre als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder oder ungerade und die jeweils andere gerade ist.

Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt:

• Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.

Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind , andernfalls mit der Endziffer 6 .

Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind , andernfalls mit der Endziffer 1 .

 : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.

Siehe auch

• Biquadrat

Einzelnachweise

1. ↑ 919444^1048576 + 1 auf Prime Pages
2. ↑ 919444^1048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
3. ↑ A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch). 

Weblinks

• Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch). 

Quellen

Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205.