Hilbert-Symbol

Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper $K$ mit der multiplikativen Gruppe $K^{*}$ ist es definiert als die folgende Abbildung:

{\begin{aligned}K^{*}\times K^{*}&\rightarrow \{-1,1\}\\(a,b)&\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls}}\ z^{2}=ax^{2}+by^{2}\ {\text{eine nicht}}{\mbox{-}}{\text{triviale Lsg.}}\ (x,y,z)\in K^{3}\ {\text{besitzt}};\\-1,&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}

Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn $x=y=z=0$ gilt.

Eigenschaften

Ein Element $a$ in $K^{*}$ ist ein Quadrat genau dann, wenn $(a,b)=1$ für alle $b\in K^{*}$ gilt.
Für alle $a,b$ in $K^{*}$ gilt: $(a,b)=(b,a)$ .
Für alle $a,b_{1},b_{2}$ in $K^{*}$ gilt: $(a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})(a,b_{2})$ .
Für alle $a$ in $K^{*}$ mit $a\neq 1$ gilt $(a,1-a)=1$ .