„Kharitonov-Kriterium“ – Versionsunterschied
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'''Kharitonov's theorem''' is a result used in [[control theory]] to assess the [[stability (mathematics)|stability]] of a [[dynamical system]] when the physical parameters of the system are not known precisely. | '''Kharitonov's theorem''' is a result used in [[control theory]] to assess the [[stability (mathematics)|stability]] of a [[dynamical system]] when the physical parameters of the system are not known precisely. | ||
Das Theorem von Kharitonov ist ein Zusammenhang, der in der [[Regelungstechnik]] verwendet wird um die Stabilität von dynamischen Systemen nachzuweisen, deren physikalischen Parameter nicht genau bekannt sind. | Das '''Theorem von Kharitonov''' ist ein Zusammenhang, der in der z.B. [[Regelungstechnik]] verwendet wird um die Stabilität von dynamischen Systemen, die durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden, nachzuweisen, wenn deren physikalischen Parameter nicht genau bekannt sind. Stabilität eines solchen Systems liegt vor, wenn die Nullstellen des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]] einen negativen Realteil haben. Diese Eigenschaft kann z.B. mit Hilfe des [[Hurwitzpolynom|Routh-Hurwitz-Kriterium]] ohne Berechnung der Nullstellen gezeigt werden. | ||
Ist jedoch nur der Wertebereich der physikalischen Parameter und daher nur ein Wertebereich der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bekannt kann das Theorem von Kharitonov herangezogen werden. | |||
Wird nun ein System durch das characteristische Polynom | |||
When the coefficients of the [[characteristic polynomial]] are known, the [[Routh–Hurwitz stability criterion]] can be used to check if the system is stable (i.e. if all [[root]]s have negative real parts). Kharitonov's theorem can be used in the case where the coefficients are only known to be within specified ranges. It provides a test of stability for a so-called [[interval polynomial]], while Routh–Hurwitz is concerned with an ordinary [[polynomial]]. | |||
==Definition== | |||
An interval polynomial is the family of all polynomials | |||
:<math> | :<math> | ||
p(s)= a_0 + a_1 s^1 + a_2 s^2 + ... + a_n s^n | p(s)= a_0 + a_1 s^1 + a_2 s^2 + ... + a_n s^n | ||
</math> | </math> | ||
beschrieben und gilt für jeden Parameter | |||
where each coefficient <math>a_i \in R</math> can take any value in the specified intervals | |||
:<math> | :<math> | ||
l_i \le a_i \le u_i | l_i \le a_i \le u_i | ||
</math> | </math> | ||
so liegen die Nullstellen des Polynoms in der linken Halbebene wenn die Nullstellen der vier Polynome | |||
It is also assumed that the leading coefficient cannot be zero: <math>0 \notin [l_n, u_n]</math>. | |||
==Theorem== | |||
An interval polynomial is stable (i.e. all members of the family are stable) if and only if the four so-called '''Kharitonov polynomials''' | |||
:<math>k_1(s) = l_0 + l_1 s^1 + u_2 s^2 + u_3 s^3 + l_4 s^4 + l_5 s^5 + \cdots </math> | :<math>k_1(s) = l_0 + l_1 s^1 + u_2 s^2 + u_3 s^3 + l_4 s^4 + l_5 s^5 + \cdots </math> | ||
:<math>k_2(s) = u_0 + u_1 s^1 + l_2 s^2 + l_3 s^3 + u_4 s^4 + u_5 s^5 + \cdots </math> | :<math>k_2(s) = u_0 + u_1 s^1 + l_2 s^2 + l_3 s^3 + u_4 s^4 + u_5 s^5 + \cdots </math> | ||
:<math>k_3(s) = l_0 + u_1 s^1 + u_2 s^2 + l_3 s^3 + l_4 s^4 + u_5 s^5 + \cdots </math> | :<math>k_3(s) = l_0 + u_1 s^1 + u_2 s^2 + l_3 s^3 + l_4 s^4 + u_5 s^5 + \cdots </math> | ||
:<math>k_4(s) = u_0 + l_1 s^1 + l_2 s^2 + u_3 s^3 + u_4 s^4 + l_5 s^5 + \cdots </math> | :<math>k_4(s) = u_0 + l_1 s^1 + l_2 s^2 + u_3 s^3 + u_4 s^4 + l_5 s^5 + \cdots </math> | ||
in der linken Halbebene liegen. Dieser Nachweis kann wieder durch das Routh-Hurwitz-Kriterium erbracht werden, dass nun auf die vier Gleichungen angewendet wird. | |||
are stable. | |||
Dies bedeutet, dass durch überprüfen der Nullstellen von vier Polynomen die gezeigt werden kann, dass die Nullstellen von unendlich vielen Polynomen auf der linken Halbebene liegen. Damit ist dieses Kriterium besonders zu Behandlung von [[Robuste Regelung|robusten Reglern]] geeignet. | |||
What is somewhat surprising about Kharitonov's result is that although in principle we are testing an infinite number of polynomials for stability, in fact we need to test only four. This we can do using Routh–Hurwitz or any other method. So it only takes four times more work to be informed about the stability of an interval polynomial than it takes to test one ordinary polynomial for stability. | |||
Kharitonov's theorem is useful in the field of [[robust control]], which seeks to design systems that will work well despite uncertainties in component behavior due to [[measurement error]]s, changes in operating conditions, equipment wear and so on. | |||
==References== | ==References== | ||
Version vom 8. Juli 2024, 18:44 Uhr
Vorlage:No footnotes Kharitonov's theorem is a result used in control theory to assess the stability of a dynamical system when the physical parameters of the system are not known precisely.
Das Theorem von Kharitonov ist ein Zusammenhang, der in der z.B. Regelungstechnik verwendet wird um die Stabilität von dynamischen Systemen, die durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden, nachzuweisen, wenn deren physikalischen Parameter nicht genau bekannt sind. Stabilität eines solchen Systems liegt vor, wenn die Nullstellen des charakteristischen Polynom einen negativen Realteil haben. Diese Eigenschaft kann z.B. mit Hilfe des Routh-Hurwitz-Kriterium ohne Berechnung der Nullstellen gezeigt werden. Ist jedoch nur der Wertebereich der physikalischen Parameter und daher nur ein Wertebereich der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bekannt kann das Theorem von Kharitonov herangezogen werden.
Wird nun ein System durch das characteristische Polynom
beschrieben und gilt für jeden Parameter
so liegen die Nullstellen des Polynoms in der linken Halbebene wenn die Nullstellen der vier Polynome
in der linken Halbebene liegen. Dieser Nachweis kann wieder durch das Routh-Hurwitz-Kriterium erbracht werden, dass nun auf die vier Gleichungen angewendet wird. Dies bedeutet, dass durch überprüfen der Nullstellen von vier Polynomen die gezeigt werden kann, dass die Nullstellen von unendlich vielen Polynomen auf der linken Halbebene liegen. Damit ist dieses Kriterium besonders zu Behandlung von robusten Reglern geeignet.
References
- Johann Reger: Regelungs- und Systemtechnik 2 - Beiblatt 5: Intervall-Stabilität. 17. November 2013, abgerufen am 6. Juli 2024.
- Eberhard P. Hofer: Grundlagen der Regelungstechnik - Regelungstechnik 1. 2008, S. Blatt V S. 49.
- V. L. Kharitonov, "Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of differential equations", Differentsialnye uravneniya, 14 (1978), 2086-2088. Vorlage:In lang
- Academic home page of Prof. V. L. Kharitonov (archived)
[[Category:Control theory]] [[Category:Theorems about polynomials]] [[Category:Theorems in dynamical systems]] [[Category:Circuit theorems]]
