Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen der Ordnung , Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe , die wir als multiplikative Untergruppe in realisieren, d. h.

Die Gruppe wird von erzeugt und es ist

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung , damit ist. Indem wir die komplexen Zahlen als Unteralgebra der Quaternionen auffassen, ist auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums . Wir wollen als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

von erzeugte multiplikative Untergruppe von .

Da ist

,

und man kann zeigen, dass

Dazu rechnet man zunächst und damit ; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass tatsächlich nur die angegebenen Elemente enthält.^[1]

Da die Elemente genauso wie die ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.^[2]

Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:

.

Dabei ist die Inklusionsabbildung und . Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen . Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung für erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen^[3]:

.

ist eine zur zyklischen Vierergruppe isomorphe Gruppe.

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

	1	a	a2	a3	a4	a5	b	ab	a2b	a3b	a4b	a5b
1	1	a	a2	a3	a4	a5	b	ab	a2b	a3b	a4b	a5b
a	a	a2	a3	a4	a5	1	ab	a2b	a3b	a4b	a5b	b
a2	a2	a3	a4	a5	1	a	a2b	a3b	a4b	a5b	b	ab
a3	a3	a4	a5	1	a	a2	a3b	a4b	a5b	b	ab	a2b
a4	a4	a5	1	a	a2	a3	a4b	a5b	b	ab	a2b	a3b
a5	a5	1	a	a2	a3	a4	a5b	b	ab	a2b	a3b	a4b
b	b	a5b	a4b	a3b	a2b	ab	a3	a2	a	1	a5	a4
ab	ab	b	a5b	a4b	a3b	a2b	a4	a3	a2	a	1	a5
a2b	a2b	ab	b	a5b	a4b	a3b	a5	a4	a3	a2	a	1
a3b	a3b	a2b	ab	b	a5b	a4b	1	a5	a4	a3	a2	a
a4b	a4b	a3b	a2b	ab	b	a5b	a	1	a5	a4	a3	a2
a5b	a5b	a4b	a3b	a2b	ab	b	a2	a	1	a5	a4	a3

Hier ist und . Da , kann man auf die Potenzen verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei mit und bereits getan hatten. Es ist dann

1. ↑ H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press (1974), Kapitel 7.1 The Cyclic and Dicyclic groups = 74–75
2. ↑ G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson: Theory and application of finite groups, New York, Wiley 1916, Nachdruck Dover (1961)
3. ↑ Steven Roman: Fundamentals of group theory. Kapitel 12, Seite 347/348, Birkhäuser, Basel (2012)