Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen ) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Gegeben seien Abbildungen und eine Familie von Messräumen für eine nichtleere Indexmenge . Dann heißt die σ-Algebra

auf die Initial-σ-Algebra der Abbildungen oder die von den Abbildungen erzeugte σ-Algebra, wobei den σ-Operator darstellt.

• Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf , bezüglich derer alle Funktionen messbar sind.
• Sind Erzeuger von , so ist ein Erzeuger von .

• Für eine einzelne Abbildung in einen Messraum ist bereits eine σ-Algebra, es gilt also . Ist beispielsweise eine konstante Funktion, so ist die triviale σ-Algebra . Für die Indikatorfunktion einer Teilmenge gilt .
• Ist und ein Messraum sowie die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: .
• Sei das kartesische Produkt von Mengen für eine nichtleere Indexmenge und seien Messräume. Wählt man als Abbildungen die Projektionen auf die -te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der :

.

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.