„Verschiebungssatz (Statistik)“ – Versionsunterschied

Der Verschiebungssatz ist eine Rechenregel für die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen.

Kurz gefasst besagt er:

\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\bar {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}

.

Der Verschiebungsatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der Varianz, wenn Messwerte fortlaufend anfallen. Es ist dann weder nötig, alle $x_{i}$ abzuspeichern (Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (Rechenzeit).

Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel

Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es ist eine Folge von reellen Zahlen x_i gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe Q der quadratischen Abweichungen der Einzelwerte x_i vom Durchschnitt, dem arithmetischen Mittel dieser Werte, gebildet:

Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ ,

wobei

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

das arithmetische Mittel der Zahlen ist.

Der Verschiebungssatz ergibt sich aus

Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2})=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\bar {x}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)+n{\bar {x}}^{2}

\quad =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\bar {x}}\cdot n{\bar {x}}+n{\bar {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\bar {x}}^{2}

.

Beispiel

Im Rahmen der Qualitätssicherung werden fortlaufend Kaffeepäckchen gewogen. Für die ersten vier Päckchen erhielt man die Werte (in g) x_i

505,500,495,505

Das durchschnittliche Gewicht beträgt

{\bar {x}}={\frac {505+500+495+505}{4}}=501{,}25

Es ist

{\begin{aligned}Q&=(505-501{,}25)^{2}+(500-501{,}25)^{2}+(495-501{,}25)^{2}+(505-501{,}25)^{2}\\&=14{,}0625+1{,}5625+39{,}0625+14{,}0625\\&=68{,}75\,.\end{aligned}}

Für die Anwendung des Verschiebungssatzes berechnet man

q_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=505+500+495+505=2.005

und

q_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=255.025+250.000+245.025+255.025=1.005.075

Q=q_{2}-q_{1}^{2}/4=68{,}75

Man kann damit beispielsweise die korrigierte Stichprobenvarianz bestimmen:

s^{2}={\frac {1}{n-1}}Q\,,

im Beispiel

s^{2}={\frac {1}{4-1}}68{,}75\approx 22{,}9\,.

Kommt nun ein weiteres Päckchen in die Stichprobe, so reicht es zur Neuberechnung der Stichprobenvarianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes, lediglich die Werte für $q_{1}$ und $q_{2}$ neu zu berechnen. Beim fünften Päckchen werde das Gewicht 510g gemessen. Dann gilt:

q_{1}^{\text{neu}}=q_{1}+510=2.005+510=2.515\,,

q_{2}^{\text{neu}}=q_{2}+510^{2}=1.005.075+260.100=1.265.175\,,

sowie

Q^{\text{neu}}=q_{2}^{\text{neu}}-\left(q_{1}^{\text{neu}}\right)^{2}/5=130\,.

Die Stichprobenvarianz der neuen, größeren Stichprobe ist dann

s_{\text{neu}}^{2}={\frac {1}{5-1}}Q^{\text{neu}}=130/4=32{,}5\,.

Anwendungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Varianz

Die Varianz als Erwartungswert

{\mbox{var}}\,X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})

lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als

{\mbox{var}}\,X=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}\ .

Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Ausprägungen $x_{i},\,i=1,\dots ,n$ und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit $\operatorname {P} (X=x_{j})=p_{j}$ dann für

{\mbox{var}}\,X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\sum _{j}p_{j}\left(x_{j}-\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}\ .

Mit der speziellen Wahl

p_{i}={\frac {1}{n}}

ergibt sich

\operatorname {E} (X)={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}

und die obige Formel

{\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}^{2}-{\bar {x}}^{2}.

Für eine stetige Zufallsvariable X mit den Ausprägungen Ω = {x| x ∈ R} und der dazugehörigen Dichtefunktion f(x) ist

{\mbox{var}}\,X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{x}(x-\operatorname {E} (X))^{2}\,f(x)\,dx\ .

Man erhält hier mit dem Verschiebungssatz

{\mbox{var}}\,X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{x}x^{2}f(x)\,dx-\operatorname {E} (X)^{2}\ .

Kovarianz

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y lässt sich als E( (X-E(X))·(Y-E(Y)) ) angeben.

Für diskreten Zufallsvariablen erhält man für

\operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}(x_{j}-\operatorname {E} (X))(y_{k}-\operatorname {E} (Y))\,f(x_{j},y_{k})

entsprechend zu oben

\sum _{j}\sum _{k}x_{j}\,y_{k}\,f(x_{j},y_{k})-\operatorname {E} (X)\,\operatorname {E} (Y)\ ,

mit f(x_j, y_k) als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass X = x_j und Y = y_k ist.

Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit f(x,y) als gemeinsamer Dichtefunktion von X und Y an der Stelle x und y für die Kovarianz

\operatorname {cov} (X,Y)=\int _{x}\int _{y}(x-\operatorname {E} (X))(y-\operatorname {E} (Y))\,f(x,y)\,dy\,dx

entsprechend zu oben

\int _{x}\int _{y}xy\,f(x,y)dy\,dx-\operatorname {E} (X)\,\operatorname {E} (Y)\,

Stichprobenkovarianz

Für die Stichproben-Kovarianz zweier Merkmale x und y benötigt man

Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})\ .

Hier ergibt der Verschiebungssatz

Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\bar {x}}{\bar {y}}\ .

Die Stichproben-Kovarianz berechnet sich dann als

{\mbox{cov}}_{xy}={\frac {1}{n-1}}Q\ .

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 Kurz gefasst besagt er:
-:<math>\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n \bar{x}^2= \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2</math>.
+:<math>\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n \bar{x}^2= \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2</math>.
 Der Verschiebungsatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der [[Varianz#Rechenregeln|Varianz]], wenn Messwerte fortlaufend anfallen. Es ist dann weder nötig, alle <math>x_i</math> abzuspeichern (Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (Rechenzeit).

Deutschland Teilung

„Verschiebungssatz (Statistik)“ – Versionsunterschied

Version vom 31. Dezember 2009, 13:43 Uhr

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