Proximum
Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt innerhalb einer nicht enthaltenden Menge ist derjenige Punkt aus , der zu den geringsten Abstand hat.
Definition
Sei ein metrischer Raum, eine Teilmenge und beliebig. Der Abstand des Elements zur Teilmenge wird mittels der Distanzfunktion definiert durch
Existiert nun ein mit:
so nennt man Proximum oder Bestapproximation zu in .
Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.
Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum zu tun. Ein Proximum zu in ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung
Zur Existenz eines Proximums
- Sei ein metrischer Raum. sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes ein Proximum in .
- Sei ein normierter Raum. sei ein endlichdimensionaler Teilraum und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes ein Proximum in .
Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen
Sei ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für aus eindeutig bestimmt.
![{\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a752d698b4aff960db039fd609ace1e19314b1)
Sei ein endlichdimensionaler Unterraum von . Ist für jedes das Proximum aus eindeutig bestimmt, dann ist ein Tschebyschow-System.
![{\displaystyle C[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1625217aad8c105c50c975599e45192b2bfbec)
![{\displaystyle f\in C[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a75183a73efed5373e1d10284bceb0c4e48741)
Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen
Sei ein -dimensionales Tschebyschow-System. ist genau dann ein Proximum für aus , wenn es Stellen mit gibt, so dass
- , (Extremalpunkt)
- , (alternierend)
![{\displaystyle |f(x_{i})-u_{0}(x_{i})|=\max _{x\in [a,\,b]}|f(x)-u_{0}(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf866800e476d74129c9e03572549553593b67)
Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.
Proximum im Hilbertraum
Ist ein Hilbertraum und eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem genau ein mit
- .
Ist ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum als Orthogonalprojektion von auf .
Siehe auch
Literatur
- Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
