„Methode der harmonischen Balance“ – Versionsunterschied

Die Methode der harmonischen Balance ist ein Verfahren der Schwingungslehre um nachzuweisen, ob (nichtlineare) Dauerschwingungen auftreten und ob diese stabil sind. In der Regelungstechnik wird es zu einem Verfahren zum Nachweis der Stabilität von nichtlinearen Systemen umgedeutet.

Die Auswertung kann sowohl algebraisch als auch graphisch erfolgen. In der graphischen Deutung zeigt sie Ähnlichkeit mit dem Stabilitätskriterium von Nyquist und dem Frequenzkennlinienverfahren, was die Anwendung vereinfacht. Es ist weiterhin unter den Begriffen Harmonische Linearisierung und Methode der Beschreibungsfunktion bekannt.

Harmonische Balance

Nichtlineares System im Zustand der harmonischen Balance

Das Verfahren geht von einem nichtlinearen Regelkreis, bestehend aus einer nichtlinearen Kennlinie und einem linearen Teil mit der Übertragungsfunktion $L(j\omega )$ aus. Das lineare Teilsystem $L(j\omega )$ sei stabil, habe höchstens einen Pol im Ursprung und Tiefpassverhalten.

Nach Nikolai Mitrofanowitsch Krylow und Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow ^[1] spricht man vom Zustand der harmonischen Balance, wenn sich das System im Zustand einer Dauerschwingung mit der Frequenz $f_{p}={\frac {\omega _{p}}{2\pi }}$ befindet. Es gelte

$x_{d}$ eine sinusförmige Größe mit der Kreisfrequenz $\omega _{p}$
dann ist $u$ ebenfalls eine periodische Größe, die aus einer Grundschwingung mit der Frequenz $\omega _{p}$ und deren ganzzahlinge Vielfachen zusammengesetzt ist. Die einzelnen Amplituden lassen sich nach den Regeln der Fourierreihe bestimmen.
Hat nun $L(j\omega )$ Tiefpassverhalten, so dass Frequenzen oberhalb $\omega _{p}$ gedämpft werden, so sind $x$ und damit $x_{d}$ sinusförmige Größen und Bedingung 1 ist erfüllt.

Damit brauchen auch die Vielfachen von $\omega _{p}$ in $u$ nicht berücksichtigt zu werden. Damit ist die Nichtlinearität ein System, das eine Schwingung mit der Frequenz $\omega _{p}$ und der Amplitude $A$ in eine phasenverschobene Schwingung mit gleicher Frequenz und anderer Amplitude überführt. Mit

x_{d}(t)=Ae^{j\omega t}

u=C_{1}e^{j(\omega t+\varphi _{1})}

kann ein Ersatzfrequenzgang

N={\frac {u}{x_{d}}}={\frac {C_{1}}{A}}e^{j\varphi _{1}}

gebildet werden. Dabei ist

C_{1}e^{j\varphi _{1}}=\underbrace {C_{1}\cos(\varphi _{1})} _{a_{1}}+j\underbrace {C_{1}\sin(\varphi _{1})} _{b_{1}}

Es sind dabei $a_{1},b_{1}$ die Grundwellenkoeffizienten von $u$ bei Anregung mit $x_{d}=A\sin(\omega _{p}t)$ . Damit ist

N={\frac {a_{1}}{A}}+j{\frac {b_{1}}{A}}

Für typische Nichtlinearitäten, bei denen $F$ nur von $x_{d}$ oder im Falle von Hysteresekurve vom Vorzeichen von ${\dot {x}}_{d}$ abhängt, sind $a_{1},b_{1}$ unabhängig von $\omega _{p}$ . Damit ist

N=N(A)=R(A)+jI(A)

und damit nur von der Amplitude, nicht aber von der Frequenz abhängig.

$N(A)$ wird als Beschreibungsfunktion bezeichnet. Da sie im Zustand der harmonischen Balance ähnlich einer Übertragungsfunktion die Kennlinie ersetzt, wird auch von harmonischer Linearisierung gesprochen. Im Gegensatz zur Linearisierung gilt sie aber nur im Zustand der harmonischen Balance und aus Stetigkeitsgründen in deren Umgebung ^[2].

Der Zustand der harmonischen Bilanz wird durch

u_{1}=N(A)x_{d}

-x_{d}=L(j\omega _{p})u_{1}

also

(L(j\omega _{p})N(A)+1)x_{d}=0

bzw. da es immer gelten soll

L(j\omega _{p})N(A)+1=0

Wenn der Zustand der harmonischen Balance existiert, erfüllen seine Amplitude $A$ und ihre Kreisfrequenz $\omega _{p}$ vorstehende Gleichung.

Bestimmung der Beschreibungsfunktion

Der Realteil wird aus

R(A)={\frac {1}{\pi \,A}}\int _{0}^{2\pi }F(A\sin(v),\omega A\cos(v))\sin(v){\textrm {d}}v

,

der Imaginärteil

I(A)={\frac {1}{\pi \,A}}\int _{0}^{2\pi }F(A\sin(v),\omega A\cos(v))\cos(v){\textrm {d}}v

bestimmt.

Hängt die Nichtlinearität höchstens von ${\textrm {sign}}({\dot {x}}_{d})$ ab, liegt also eine Hysteresekurve vor, so kann $I(A)$ vereinfacht werden zu

I(A)=\int _{-A}^{A}(F_{o}(x_{d})-F_{u}(x_{d})){\textrm {d}}x_{d}

,

wobei $F_{o}(x_{d})$ den oberen, $F_{u}(x_{d})$ den unteren Zweig der Hysteresekurve beschreibt. $I(A)$ ist also die eingeschlossene Fläche der Hysteresekurve und verschwindet, wenn die Nichtlinearität eindeutig ist.

Beispiele

Name	Bild	Beschreibungsfunktion $N(A)$	Nichtlineare Ortskurve $-{\frac {1}{N(A)}}$
Zweipunktglied		${\frac {4b}{\pi A}},A>0$
Begrenzung

Lösung der Gleichung der Harmonischen Balance

Um festzustellen, ob ein Grenzzyklus vorliegt oder nicht, muss die Gleichung der harmonischen Balance

L(j\omega _{p})N(A)+1=0

gelöst werden. Dies ist einerseits algebraisch und durch Näherungsverfahren, anderseits geometrisch möglich.

Algebraische Lösung

Es wird die komplexe Gleichung

N(A)=-L(j\omega _{p})^{-1}

in den Real- und Imaginärteil

Re(N(A))=-Re(L(j\omega _{p})^{-1})

Im(N(A))=-Im(L(j\omega _{p})^{-1})

aufgeteilt. Der Lösungsweg vereinfacht sich, wenn die Kennlinie eindeutig ist und daher $Im(N(A))=0$ gilt. In diesem Fall kann zuerst aus der Gleichung für den Imaginärteil die Kreisfrequenz des Grenzzyklus und aus der Gleichung für den Realteil seine Amplitude bestimmt werden. Diese Rechnung vereinfacht sich, wenn $L(j\omega )$ reines Verzögerungsverhalten hat und damit $L(j\omega )^{-1}$ ein Polynom in $\omega$ ist.

Geometrische Lösung

Ausgangspunkt ist hier die Darstellung

L(j\omega )=-{\frac {1}{N(A)}}

die in die Ortskurven

z=L(j\omega )

(bekannte Ortskurve der linearen Regelungstheorie)

und

z=N_{J}(A)=-{\frac {1}{N(A)}}

(nichtlineare Ortskurve ^[3])

aufgeteilt wird. Schneiden sich beide Kurven, so liegt eine nichtlineare Grenzschwingung vor. Für die Lösung im Bode-Diagramm sei auf ^[4] verwiesen.

Umdeutung als Stabilitätskriterium

Stabilität bedeutet im wesentlichen, dass Auslenkungen aus einer einmal erreichte Gleichgewichtslage nicht dazu führen, dass diese endgültig verlassen werden. Vor diesem Hintergrund können folgende Fälle unterschieden werden.

Die Trajektorie strebt einer neuen Gleichgewichtslage zu
Die Trajektorie strebt ins Unendliche
Die Trajektorie strebt mit der Zeit einer Kurve zu, die sie als Grenzkurve besitzt

Da der zweite Fall in realen Systemen wegen der Begrenzung aller Zustandsgrößen nicht möglich ist, folgt aus dem Nichtvorhandensein einer Grenzkurve die Stabilität. Wenn die Gleichung der harmonischen Balance lösbar ist, ist die Gleichgewichtslage nicht stabil.^[5]

Literatur

Otto Föllinger: Nichtlineare Regelungen, Bd. 1: Grundbegriffe, Anwendung der Zustandsebene, direkte Methode. 5. Auflage. Oldenbourg, München 1989, ISBN 3-486-21457-8. (aktuell ist Auflage 8)

Einzelnachweise

Die Einzelnachweise beziehen sich Otto Föllinger, Nichtlineare Regelungen I, 5. Auflage, R. Oldenbourg Verlag München Wien

↑ FOE, S. 71
↑ FOE S. 79
↑ FOE S. 90
↑ FOE Kap. 5 S. 156ff
↑ FOE, S. 69

[1] FOE, S. 71

[2] FOE S. 79

[3] FOE S. 90

[4] FOE Kap. 5 S. 156ff

[5] FOE, S. 69

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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	Die Auswertung kann sowohl algebraisch als auch graphisch erfolgen. In der graphischen Deutung zeigt sie Ähnlichkeit mit dem [[Stabilitätskriterium von Nyquist]] und dem [[Bode-Diagramm\|Frequenzkennlinienverfahren]], was die Anwendung vereinfacht. Es ist weiterhin unter den Begriffen ''Harmonische Linearisierung'' und ''Methode der Beschreibungsfunktion'' bekannt.		Die Auswertung kann sowohl algebraisch als auch graphisch erfolgen. In der graphischen Deutung zeigt sie Ähnlichkeit mit dem [[Stabilitätskriterium von Nyquist]] und dem [[Bode-Diagramm\|Frequenzkennlinienverfahren]], was die Anwendung vereinfacht. Es ist weiterhin unter den Begriffen ''Harmonische Linearisierung'' und ''Methode der Beschreibungsfunktion'' bekannt.

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