Heinrich entstammt dem [[Schweiz]]er Adelsgeschlecht der [[Brandis (Schweiz)|Freiherren von Brandis]]. Sein Eltern waren Mangold von Brandis und Margareta von Nellenburg. Sein Bruder Eberhard war Abt von [[Kloster Reichenau|Reichenau]], seine Schwester Agnes Äbtissin des Klosters [[Bad Säckingen|Säckingen]]. Heinrich wurde im [[Kloster Einsiedeln]] erzogen, dessen Abt er 1348 wurde. Nach der Ermordung von Bischof [[Johann Windlock]] 1356 kam es zu einer Doppelwahl durch das Domkapitel. Die Mehrheit wählte den Konstanzer Domherrn Ulrich von Friedingen, während sich eine Minderheit für den Bischof von [[Erzbistum München und Freising|Freising]], [[Albert II. von Hohenberg]] von entschied. Anfang 1357 einigten sich Kaiser und Papst auf den [[Erzbistum Bamberg|Bamberg]]er Bischof [[Lupold von Bebenburg]], der die Wahl jedoch ablehnte. So ernannte der Papst am 15. Mai 1357 Heinrich zum Bischof von Konstanz. Er reiste nach Avignon, wo er am 25. Mai die Bischofsweihe erhielt. Dort ging er auch beträchtliche finanzielle Verpflichtungen gegenüber dem Papst ein. 1358 ernannte er seinen Bruder Wolfram zum weltlichen Verwalter des Bistums, der jedoch mehr das Wohl seiner Familie im Auge hatte. Nachdem das Bistum mit seinen Zahlungen beim Papst in Rückstand geriet, beauftragte dieser den [[Propst|Dompropst]] Felix Stucki und den Rat der Stadt [[Konstanz]], gegen Heinrich Stellung zu nehmen. Am 6./7. August 1363 wurde Stucki in [[Zürich]] ermordet. Zu den Tätern zählten Heinrichs Brüder Thüring und Wolfram. Als 1368 Heinrichs Neffe Wölfle auf dem Weg zu einem Turnier in Zürich von Konstanzer Bürgern erschlagen wurde, entbrannte ein Konflikt mit der Stadt Konstanz (1368–1372). Heinrich musste nach [[Grenoble]] fliehen und belegte die Stadt mit dem [[Interdikt (Kirchenrecht)|Interdikt]]. Die Stadt beschuldigte Heinrich daraufhin der Mitwisserschaft an der Ermordung seines Vorgängers und der Anstiftung zum Mord Stuckis. Daraufhin wurde Heinrich im April vom Papst seines Amtes enthoben. Nachdem sich Heinrich und die Stadt Konstanz einigten wurde er 1372 wieder eingesetzt. In der Zeit des [[Schisma]]s stand Heinrich zuerst auf der Seite [[Urban VI.|Urbans VI.]], wechselte dann aber 1380 auf die Seite von [[Gregor XI.]]. Kurz vor seinem Tode setzte ihn Urban VI. ab und ernannte [[Nikolaus von Riesenburg]] zu seinem Nachfolger. Heinrich starb am 22. November 1383 in Klingnau. Das Domkapitel wählte am 27. Januar 1384 Heinrichs Neffen [[Mangold von Brandis]] zum Nachfolger.