Vierfeldertest
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Der Vierfeldertest (auch -Vierfeldertest bzw. Chi-Quadrat-Vierfeldertest, engl. Cross tab oder Fourfold Test) ist ein statistischer Test. Er dient dazu, zu prüfen, ob zwei dichotome Merkmale stochastisch unabhängig voneinander sind bzw. ob die Verteilung eines dichotomen Merkmals in zwei Gruppen identisch ist.[1]
Vorgehen
Der Vierfeldertest beruht auf einer Kontingenztabelle folgender Art, die die (bivariate) Häufigkeitsverteilung der beiden betrachteten Merkmale visualisiert:
| Merkmal X | |||
|---|---|---|---|
| Merkmal Y | Ausprägung 1 | Ausprägung 2 | Zeilensumme |
| Ausprägung 1 | a | b | a+b |
| Ausprägung 2 | c | d | c+d |
| Spaltensumme | a+c | b+d | n = a+b+c+d |
Laut einer Faustformel muss der Erwartungswert aller vier Felder mindestens 5 betragen. Der Erwartungswert wird dabei berechnet aus Zeilensumme*Spaltensumme/Gesamtzahl. Bei einem Erwartungswert kleiner 5 empfehlen Statistiker den Exakten Fisher-Test.
Teststatistik
Um die Nullhypothese zu prüfen, dass beide Merkmale stochastisch unabhängig sind, wird zunächst folgende Prüfgröße für einen zweiseitigen Test berechnet:
- .
Diese Formel darf allerdings nur dann verwendet werden, wenn in jeder der beiden Stichproben mindestens sechs Merkmalsträger (Beobachtungen) enthalten sind.
Alternativ kann man die Vierfeldertafel auch mit dem Chi-Quadrat-Test auswerten (Anleitung siehe dort).
Testentscheidung
In der Medizin wird ein Vergleich zwischen beiden Stichproben meistens dann als wesentlich anerkannt, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Zufallsbefund kleiner oder gleich 5 % ist (das sog. Niveau des Tests). Errechnet sich eine Prüfsumme die kleiner als 3,841 ist, dann konnte der Test nicht nachweisen, dass ein signifikanter Unterschied besteht, errechnet sich dagegen eine Prüfsumme, die gleich oder größer 3,841 ist, so besteht zwischen den Stichproben ein signifikanter Unterschied.
| Realisation der Prüfgröße | Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (p-Wert) |
|---|---|
| 2,71 | 10,0% |
| 3,84 | 5,0% |
| 6,64 | 1,0% |
| 10,83 | 0,1% |
Die Wahrscheinlichkeit, dass die berechnete (oder eine noch größere) Prüfgröße nur zufällig auf Grund der Stichprobenziehung erhalten wurde (p-Wert), lässt sich wie folgt näherungsweise berechnen:
Die Näherung dieser (Faust-)Formel an den tatsächlichen p-Wert ist gut, wenn die Prüfgröße zwischen 2,0 und 8,0 liegt.[2]
Beispiele und Anwendungen
Bei der Frage, ob eine medizinische Maßnahme wirksam ist oder nicht, ist der Vierfeldertest sehr hilfreich, da er sich auf das Hauptentscheidungskriterium konzentriert.
Beispiel 1
Man befragt jeweils 50 (zufällig ausgewählte) Frauen und Männer, ob sie rauchen oder nicht.
Man erhält das Ergebnis:
- Frauen : 25 Raucher 25 Nichtraucher
- Männer : 30 Raucher 20 Nichtraucher
Führt man auf Basis dieser Erhebung einen Vierfeldertest durch, dann ergibt sich anhand der oben dargestellten Formel ein Prüfwert von ca. 1. Da dieser Wert kleiner ist als der krtische Wert 3,841, kann die Hypothese, dass das Rauchverhalten vom Geschlecht unabhängig ist, nicht verworfen werden. Der Anteil der Raucher bzw. Nichtraucher unterscheidet sich zwischen den Geschlechtern nicht signifikant.
Beispiel 2
Man befragt jeweils 500 (zufällig ausgewählte) Frauen und Männer, ob sie rauchen oder nicht.
Folgende Daten werden erhalten:
- Frauen: 250 Nichtraucher 250 Raucher
- Männer: 300 Nichtraucher 200 Raucher
Hier ergibt sich anhand des Vierfeldertests ein Prüfwert von , welcher größer als 3,841 ist. Da das Testergebnis damit (hoch)signifikant ist, kann die Nullhypothese, dass die Merkmale "Rauchverhalten" und "Geschlecht" stochastisch unabhängig voneinander sind, abgelehnt werden.
Siehe auch
- Eine Erweiterung des Vierfeldertests ist der Phi-Koeffizient. Zwischen , der Anzahl der Beobachtungen n und der Prüfgröße des Chi-Quadrat-Vierfeldertests besteht der Zusammenhang .
- Chi-Quadrat-Test
- Confusion Matrix
- Exakter Test nach Fisher
Einzelnachweise
- ↑ Jürgen Bortz, Nicola Döring: Forschungsmethoden und Evaluation für Human- und Sozialwissenschaftler. 4. Auflage. Springer, 2006, S. 103.
- ↑ Hans-Hermann Dubben, Hans-Peter Beck-Bornholdt: Der Hund, der Eier legt. 4. Auflage. Rowohlt Science, 2009, S. 293.
