Weyl-Gruppe

In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

Es sei eine halbeinfache Lie-Gruppe und

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien der Normalisator von in und der Zentralisator von in . Die Weyl-Gruppe ist definiert als

.

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe

Für jeden maximalen Torus sei und der Normalisator und Zentralisator von , dann ist

die Weyl-Gruppe von .

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

Es sei ein Wurzelsystem in einem Vektorraum , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

erzeugte Gruppe die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra und das dazugehörige Wurzelsystem . Die Weyl-Gruppe von stimmt mit der Weyl-Gruppe von überein.

Längstes Element

Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ist die symmetrische Gruppe . Das längste Element ist die Permutation .

Literatur